ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 722

План доказательства.

Пусть дан треугольник ABC. Обозначим его среднюю линию как отрезок MN, где точка M — середина стороны AC, а точка N — середина стороны BC. Нам нужно доказать, что расстояния от вершин A, B и C до прямой MN равны между собой. Для этого проведём перпендикуляры из каждой вершины к прямой MN и обозначим их длины как h_A, h_B и h_C соответственно. Мы покажем, что h_A=h_C и h_B=h_C, откуда следует равенство всех трёх расстояний.

Вычисление и обоснование.

Рассмотрим расстояние от вершины C до прямой MN. Пусть CH — перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую MN, тогда h_C=CH. Теперь рассмотрим расстояние от вершины A до прямой MN. Пусть AK — перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую MN, тогда h_A=AK. Так как M является серединой отрезка AC, то AM=MC. Прямые AK и CH параллельны, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой MN (AK∥CH). Рассмотрим треугольники △AMK и △CMH: 1) AM=MC (по условию, M — середина); 2) ∠AMK=∠CMH (вертикальные углы); 3) ∠AKM=∠CHM=90^° (так как это перпендикуляры к прямой MN). Следовательно, △AMK=△CMH по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=CH, то есть h_A=h_C.

Аналогично докажем равенство расстояний для вершины B. Пусть BL — перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую MN, тогда h_B=BL. Рассмотрим треугольники △BNL и △CNH: 1) BN=NC (так как N — середина стороны BC); 2) ∠BNL=∠CNH (вертикальные углы); 3) ∠BLN=∠CHN=90^°. Следовательно, △BNL=△CNH по гипотенузе и острому углу. Отсюда получаем BL=CH, то есть h_B=h_C.

Проверка и вывод.

Мы установили, что расстояние от вершины A до прямой средней линии равно расстоянию от вершины C (h_A=h_C), и расстояние от вершины B до этой прямой также равно расстоянию от вершины C (h_B=h_C). Объединяя эти равенства, получаем: h_A=h_B=h_C. Это означает, что все три вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой, содержащей его среднюю линию. Что и требовалось доказать.