ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 723

План доказательства. Пусть ABCD — данный ромб. Обозначим середины его сторон: M на стороне AB, N на стороне BC, P на стороне CD, Q на стороне DA. Нам нужно доказать, что четырёхугольник MNPQ является прямоугольником. Для этого воспользуемся свойством средней линии треугольника и признаками параллелограмма и прямоугольника. Сначала покажем, что MNPQ — параллелограмм, а затем докажем наличие прямого угла в нём.

Ход решения. 1. Проведём диагонали ромба AC и BD. Вспомним свойства ромба: диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC⊥BD) и делят друг друга пополам. 2. Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ABC. По теореме о средней линии: MN∥AC и MN=1/2AC. 3. Аналогично рассмотрим треугольник ADC. Точки Q и P — середины сторон AD и DC. Отрезок QP — средняя линия треугольника ADC. Следовательно, QP∥AC и QP=1/2AC. 4. Из пунктов 2 и 3 следует, что MN∥QP и MN=QP. Если у четырёхугольника одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Таким образом, MNPQ — параллелограмм. 5. Теперь рассмотрим сторону MQ. Она соединяет середины сторон AB и AD треугольника ABD. Значит, MQ — средняя линия треугольника ABD, поэтому MQ∥BD. 6. Мы знаем, что MN∥AC и MQ∥BD. Так как диагонали ромба перпендикулярны (AC⊥BD), то и прямые, параллельные им, также перпендикулярны между собой. Следовательно, MN⊥MQ, то есть угол ∠NMQ=90^°. 7. Параллелограмм, у которого один угол прямой, является прямоугольником. Значит, MNPQ — прямоугольник.

Проверка и вывод. Логика построена на фундаментальных теоремах геометрии: свойстве средней линии треугольника и признаках параллелограмма/прямоугольника. Поскольку стороны полученного четырёхугольника параллельны диагоналям исходного ромба, а диагонали ромба всегда взаимно перпендикулярны, углы при вершинах нового четырёхугольника обязательно будут прямыми. Это подтверждает истинность утверждения для любого ромба (включая квадрат как частный случай).