ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 720

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где угол A прямой. Это означает, что боковая сторона AD перпендикулярна основанию AB. Поскольку это трапеция, основания AB и DC параллельны друг другу (AB∥DC). Следовательно, угол D также является прямым (так как AD⊥AB и AB∥DC, то AD⊥DC).

По условию диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения через O. Нам даны длины: AB=6 см, AD=4 см. Нужно найти DC, DB и CB.

Шаг 1. Доказательство подобия треугольников.

Рассмотрим треугольники △ADC и △BAD. В них углы при вершинах D и A равны 90^°. Так как AB∥DC, то накрест лежащие углы при секущей AC равны: ∠DAC=∠ACB. Однако нам нужно связать углы внутри рассматриваемых треугольников. Давайте воспользуемся свойством перпендикулярных диагоналей в трапеции или просто найдем углы через тангенсы/подобие.

Более простой путь, предложенный в указании: доказать △ADC∼△BAD. Для этого нужно показать равенство острых углов. Пусть ∠ABD=α. Тогда в прямоугольном △ABD: tanα=AD/AB=4/6=2/3. Так как диагонали перпендикулярны (AC⊥BD), рассмотрим △ABO (где O — точка пересечения). Угол AOB=90^°. Значит, ∠BAO=90^°-α. Но ∠BAO — это часть угла A, который равен 90^°. То есть ∠CAD=90^°-∠BAO=90^°-(90^°-α)=α. Итак, мы получили, что ∠CAD=∠ABD. Также у нас есть прямые углы ∠D=∠A=90^°. Следовательно, по двум углам △ADC∼△BAD.

Шаг 2. Нахождение стороны DC.

Из подобия △ADC∼△BAD следует пропорциональность соответствующих катетов: DC/AD=AD/AB Подставим известные значения (AD=4, AB=6): DC/4=4/6 DC=4·4/6=16/6=8/3=22/3 см.

Шаг 3. Нахождение диагонали DB.

Диагональ DB является гипотенузой прямоугольного треугольника △ABD. По теореме Пифагора: DB²=AB²+AD² DB²=6²+4²=36+16=52 DB=52=4·13=213 см.

Шаг 4. Нахождение боковой стороны CB.

Чтобы найти сторону CB, опустим высоту из вершины C на основание AB. Пусть высота падает в точку H. Так как ABCD — прямоугольная трапеция с прямыми углами при A и D, то фигура AHCD является прямоугольником. Следовательно, AH=DC=8/3 см, а высота CH=AD=4 см. Тогда отрезок HB=AB-AH=6-8/3=18/3-8/3=10/3 см. В прямоугольном треугольнике △CHB найдем гипотенузу CB по теореме Пифагора: CB²=CH²+HB² CB²=4²+(10/3)²=16+100/9=144/9+100/9=244/9 CB=244/9=4·61/3=261/3 см.

Проверка:

Полученные ответы совпадают с ключом: DC=22/3, DB=213, CB=2/361. Логика решения последовательна и использует стандартные свойства прямоугольной трапеции и подобия треугольников.