ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 724

План решения.

Для доказательства того, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части, обозначим точки пересечения этих прямых с диагональю как P (пересечение AM и BD) и Q (пересечение AN и BD). Нам нужно доказать равенство отрезков: BP=PQ=QD. Для этого воспользуемся свойствами параллельных линий в треугольниках и теоремой Фалеса (или подобием треугольников), опираясь на то, что M и N — середины сторон параллелограмма.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник BCD. Точка N является серединой стороны BC, а точка O (точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD) является серединой диагонали BD. Отрезок NO соединяет середины двух сторон треугольника BCD, следовательно, он является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, NO∥CD и NO=1/2CD.

Теперь рассмотрим треугольник ADP (где P — точка пересечения AM и BD). Прямая MO проходит через середину M стороны CD? Нет, давайте посмотрим на другой треугольник. Рассмотрим треугольник ABD. Проведем вспомогательную линию или используем подобие.

Более простой путь — использовать подобие треугольников.

1. Рассмотрим △BPM и △DPA. Так как ABCD — параллелограмм, то AB∥CD, значит, углы при основании равны (∠ABP=∠MDP, ∠BAP=∠DMP). Треугольники подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: k₁=BM/DA? Нет, сторона AB соответствует стороне DM. Так как M — середина CD, то DM=1/2CD=1/2AB. Следовательно, отношение AB/DM=2. Значит, BP/PD=AB/DM=2. Отсюда следует, что BP=2PD, или PD=1/3BD.

2. Аналогично рассмотрим △BQN и △DQA. Сторона BN лежит на BC, а AD∥BC. Треугольники подобны. Отношение сторон AD/BN. Так как N — середина BC, то BN=1/2BC=1/2AD. Следовательно, AD/BN=2. Из подобия следует DQ/QB=AD/BN=2. То есть DQ=2QB, откуда QB=1/3BD.

3. Мы нашли длины отрезков PD и QB относительно всей диагонали BD: PD=1/3BD QB=1/3BD

Оставшийся средний отрезок PQ вычисляется как разность всей диагонали и крайних частей: PQ=BD-BP-QD Заметим, что BP=BD-PD=BD-1/3BD=2/3BD. А QD=BD-QB=BD-1/3BD=2/3BD. Это не совсем удобно для сравнения всех трех. Лучше выразить все через одну часть. Из пункта 1: BP:PD=2:1, значит BP=2/3BD, PD=1/3BD. Из пункта 2: BQ:QD=1:2, значит BQ=1/3BD, QD=2/3BD. Точки расположены на диагонали в порядке B,Q,P,D (так как BQ<BP). Длина отрезка QP=BP-BQ=2/3BD-1/3BD=1/3BD.

Таким образом, мы получили: BQ=1/3BD QP=1/3BD PD=1/3BD

Проверка.

Сумма длин полученных отрезков: 1/3BD+1/3BD+1/3BD=BD. Это совпадает с длиной исходной диагонали. Логика использования свойств параллелограмма и признаков подобия треугольников корректна. Утверждение доказано.