ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 725

План решения.

Для доказательства равенства отношений BD/AB=DC/AC воспользуемся свойством биссектрисы внешнего угла треугольника. Нам нужно связать длины отрезков на прямой BC с длинами сторон треугольника ABC. Ключевым инструментом здесь будет теорема синусов или свойства площадей, но в школьном курсе геометрии чаще используется метод подобия или тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках (если они возникают) либо прямое следствие из теоремы о биссектрисе. Однако условие задачи относится к теме «Соотношения между сторонами и углами», что может намекать на использование проекций или тригонометрии. Но классическое доказательство этого утверждения (теорема о внешней биссектрисе) опирается на параллельные прямые или площади. Давайте рассмотрим стандартное геометрическое доказательство, которое не требует сложных вычислений, а использует только свойства углов и подобие/равенство площадей. 1. Обозначим углы треугольника ABC: ∠BAC=α, ∠ABC=β, ∠ACB=γ. 2. Биссектриса внешнего угла при вершине A делит внешний угол пополам. Внешний угол равен 180^°-α. Значит, угол между биссектрисой AD и продолжением стороны AB (или AC) равен 180^°-α/2=90^°-α/2. 3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Их можно связать через площади или через теорему синусов. Используем теорему синусов , так как она напрямую связывает стороны и углы. В △ABD: BD/sin(∠BAD)=AB/sin(∠ADB). В △ACD: DC/sin(∠CAD)=AC/sin(∠ADC). Заметим, что точки B,C,D лежат на одной прямой. Углы ∠ADB и ∠ADC — это один и тот же угол (или смежные, если точка D находится между B и C, но для внешней биссектрисы точка D лежит вне отрезка BC). В условии сказано, что биссектриса пересекает прямую BC. Для внешней биссектрисы точка пересечения D всегда лежит вне отрезка BC. Предположим, что AB>AC. Тогда точка D лежит со стороны C, то есть порядок точек B-C-D. Если AC>AB, то порядок C-B-D. В любом случае, углы ∠ADB и ∠ADC совпадают (так как лучи DB и DC направлены в одну сторону относительно точки D? Нет, лучи DB и DC лежат на одной прямой. Если D вне отрезка BC, то векторы DB и DC сонаправлены. Следовательно, ∠ADB=∠ADC. Обозначим этот угол за δ). Теперь разберем углы при вершине A. Пусть AE — продолжение стороны BA за точку A. Внешний угол ∠CAE=180^°-α. Биссектриса AD делит его пополам: ∠EAD=∠DAC′=180^°-α/2=90^°-α/2, где C′ — точка на луче AC? Нет, биссектриса внешнего угла при A проходит между лучом AC и продолжением луча AB. Угол ∠CAD состоит из угла ∠CAB (α) и части внешнего угла? Нет. Рассмотрим расположение лучей. Луч AB и луч AC образуют угол α. Продолжение луча AB за точку A обозначим AB′. Внешний угол — это ∠B′AC. Его величина 180^°-α. Биссектриса AD делит ∠B′AC пополам. Следовательно, ∠B′AD=∠DAC=180^°-α/2=90^°-α/2. Так как B′,A,B лежат на одной прямой, то ∠BAD=180^°-∠B′AD=180^°-(90^°-α/2)=90^°+α/2. Итак, у нас есть: ∠CAD=90^°-α/2 ∠BAD=90^°+α/2 Подставим эти значения в формулы теоремы синусов. Из △ABD: BD=AB·sin(∠BAD)/sin(∠ADB)=AB·sin(90^°+α/2)/sinδ Из △ACD: DC=AC·sin(∠CAD)/sin(∠ADC)=AC·sin(90^°-α/2)/sinδ Здесь мы использовали тот факт, что ∠ADB=∠ADC=δ, так как D лежит на прямой BC вне отрезка, и треугольники имеют общий угол при вершине D (угол между секущей AD и прямой BC). Выразим отношения: BD/AB=sin(90^°+α/2)/sinδ DC/AC=sin(90^°-α/2)/sinδ Нам нужно доказать, что BD/AB=DC/AC. Это эквивалентно проверке равенства: sin(90^°+α/2)=sin(90^°-α/2) Вспомним формулы приведения: sin(90^°+x)=cosx sin(90^°-x)=cosx Таким образом, обе дроби равны cos(α/2)/sinδ. Следовательно, BD/AB=DC/AC. Что и требовалось доказать.