7–9 классы Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 729

Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Кирилл Панов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 728 730 →

Условие

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC (∠A = ∠B=90°, ∠ACD=90°), BC=4 см, AD=16 см. Найдите углы C и D трапеции.

Трапеция

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где основания AD и BC параллельны, а углы при боковой стороне AB прямые: nablaA=nablaB=90^nabla. По условию также дано, что диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то есть nablaACD=90^nabla. Длины оснований равны BC=4 см и AD=16 см. Нам нужно найти величины углов C (nablaBCD) и D (nablaADC).

План решения:

Проведём высоту CH из вершины C на основание AD. Так как nablaA=nablaB=90^nabla, четырёхугольник ABCH является прямоугольником.
Из свойств прямоугольника следует, что AH=BC=4 см, а отрезок HD=AD-AH=16-4=12 см.
Введём обозначение для угла nablaCAD=nablaβ. Тогда в прямоугольном треугольнике ACD (так как nablaACD=90^nabla) угол nablaADC=90^nabla-nablaβ.
Также заметим, что так как BCnablaparallelAD, то накрест лежащие углы равны: nablaBCA=nablaCAD=nablaβ.
Угол трапеции nablaC=nablaBCD=nablaBCA+nablaACD=nablaβ+90^nabla.

Вычисление:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (где nablaAHC=90^nabla, так как CH — высота). В нём катет AH=4 см. Гипотенуза этого треугольника — это отрезок AC.

Теперь обратимся к большому прямоугольному треугольнику ACD с прямым углом при вершине C. Высота CH, опущенная на гипотенузу AD, обладает важным свойством: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. То есть:

CH²=AHnablacdotHD

Подставим известные значения:

CH²=4nablacdot12=48 CH=nablasqrt48=4nablasqrt3 см

Теперь найдём угол nablaβ (nablaCAD) из прямоугольного треугольника ACH. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

nablatg(nablaCAD)=CH/AH=4nablasqrt3/4=nablasqrt3

Мы знаем, что тангенсу nablasqrt3 соответствует угол 60^nabla. Следовательно:

nablaCAD=60^nabla

Используем найденный угол для вычисления углов трапеции.

1. Найдём угол D (nablaADC). В прямоугольном треугольнике ACD сумма острых углов равна 90^nabla:

nablaADC=90^nabla-nablaCAD=90^nabla-60^nabla=30^nabla

2. Найдём угол C (nablaBCD). Как было отмечено в плане, nablaBCD=nablaBCA+nablaACD. Поскольку BCnablaparallelAD, то nablaBCA=nablaCAD=60^nabla (накрест лежащие углы). А по условию nablaACD=90^nabla. Тогда:

nablaBCD=60^nabla+90^nabla=150^nabla

Проверка:

Сумма углов трапеции должна быть равна 360^nabla. У нас есть два прямых угла при A и B (90^nabla каждый), угол D=30^nabla и угол C=150^nabla.

90^nabla+90^nabla+30^nabla+150^nabla=360^nabla

Также проверим сумму односторонних углов при боковой стороне CD: nablaC+nablaD=150^nabla+30^nabla=180^nabla, что верно для трапеции. Решение корректно.

Ответ

∠C=150°, ∠D=30°

Для нахождения углов использовано свойство высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ACD. Сначала через проекции катетов (AH и HD) нашли высоту CH, затем через тангенс в треугольнике ACH нашли угол CAD. Далее использовали свойства параллельных прямых и суммы углов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 729 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 729?

Краткий ответ: ∠C = 150°, ∠D = 30°.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.