ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 726

План решения.

Для доказательства равенства отрезков BD и CE удобно использовать свойства параллельных прямых и подобия треугольников. Поскольку прямая DE параллельна биссектрисе угла A, мы можем провести вспомогательную линию или рассмотреть углы, образованные пересечением секущих. Ключевым моментом является то, что точка M (середина BC) лежит на прямой DE. Воспользуемся свойством средней линии или теоремой Фалеса, но более элегантно будет рассмотреть углы при основании равнобедренного треугольника, который возникнет в процессе доказательства.

Вычисление и доказательство.

Пусть AM — биссектриса угла A треугольника ABC. По условию, прямая l, проходящая через середину стороны BC (обозначим эту середину за K), параллельна AM. Эта прямая пересекает AB в точке D и AC в точке E. 1. Так как DK∥AM, то соответственные углы равны: ∠BDK=∠BAM. 2. Также, поскольку EK∥AM, накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: ∠AEK=∠EAM (если рассматривать секущую AC) или лучше рассмотреть угол ∠CKE и его связь с внешним углом. Давайте подойдем иначе, используя свойство биссектрисы и параллельности. Проведем через точку C прямую, параллельную AB, которая пересечет продолжение прямой DE в точке F. Тогда четырехугольник DBCF не обязательно параллелограмм, но рассмотрим треугольники △DBK и △FCK. Так как K — середина BC, то BK=KC. Углы ∠DBK и ∠FCK равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CF и секущей BC. Углы ∠BKD и ∠CKF равны как вертикальные. Следовательно, △DBK=△FCK по второму признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что BD=CF. 3. Теперь нужно доказать, что CF=CE. Для этого достаточно показать, что треугольник △CEF — равнобедренный, то есть ∠CFE=∠CEF. Рассмотрим углы: * ∠CFE (он же ∠KFC) равен ∠BDK (так как CF∥AB). * Мы уже установили, что ∠BDK=∠BAM (соответственные углы при DK∥AM). * Значит, ∠CFE=∠BAM. * Далее, ∠CEF (он же ∠AED) равен ∠MAC? Нет, давайте посмотрим внимательнее. * Прямая DE∥AM. Секущая AC образует накрест лежащие углы: ∠AEM=∠MAE? Нет, E лежит на AC. Угол ∠CED и угол ∠CAM связаны. * Рассмотрим угол ∠CEF. Так как CF∥AB, то ∠CFE=∠BDF (накрест лежащие). А так как DF∥AM, то ∠BDF=∠BAM (соответственные). Итого: ∠CFE=∠BAM. * Теперь рассмотрим угол ∠CEF. Это внешний угол для треугольника ADE? Или просто угол при вершине E. Так как DE∥AM, то ∠AED=∠EAM (накрест лежащие при секущей AE)? Нет, A,E,C лежат на одной прямой. DE∥AM. Секущая AC. Тогда ∠DEC=∠MAC (соответственные углы). Но нам нужен угол внутри треугольника CEF, это ∠CEF. Заметим, что ∠CEF и ∠DEC — смежные? Нет, точки D,E,F лежат на одной прямой. Точка E между D и F? Не обязательно. В условии сказано, что прямая пересекает AB и AC. Обычно для остроугольного треугольника порядок такой: D-E-F или F-E-D. Пусть F лежит на продолжении DE за точку E. Тогда ∠CEF и ∠CED — один и тот же угол, если смотреть на лучи. Но точнее: ∠CEF — это угол между CE и EF. Так как EF — часть прямой DE, а DE∥AM, то угол между AC и DE равен углу между AC и AM. То есть ∠CEF=∠CAM (как соответственные или накрест лежащие в зависимости от расположения, но величина та же). * Поскольку AM — биссектриса, то ∠BAM=∠CAM. * Следовательно, ∠CFE=∠BAM=∠CAM=∠CEF. 4. Из равенства углов ∠CFE=∠CEF следует, что треугольник △CEF равнобедренный с основанием EF. Поэтому боковые стороны равны: CF=CE. 5. Ранее мы доказали, что BD=CF. Объединяя два равенства, получаем BD=CE.

Проверка.

Логика построения опирается на стандартные признаки равенства треугольников и свойства параллельных прямых. Равенство BD=CF следует из центральной симметрии относительно середины BC (поворот на 180^° переводит B в C, а прямую AB в прямую CF). Равенство CF=CE следует из того, что прямая DE параллельна биссектрисе, что делает треугольник, отсекаемый сторонами угла и этой параллельной, равнобедренным (в данном случае проекция на сторону AC). Все шаги корректны для произвольного треугольника ABC (AB≠AC).