ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 730
Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Пусть в треугольнике ABC проведены медианы AA1, BB1 и CC1, которые пересекаются в точке O (центроиде). Эти медианы разбивают исходный треугольник на шесть малых треугольников: △AOB, △BOC, △COA (которые далее делятся на три пары) или точнее: △AOC1, △BOC1, △BOA1, △COA1, △COB1, △AOB1. Нам нужно доказать, что площади всех шести треугольников равны между собой. Для этого воспользуемся свойством медиан: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а также тем фактом, что центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Вычисление и логический вывод.
Рассмотрим медиану AA1. Она делит △ABC на два равновеликих треугольника: SABA1=SACA1=1/2SABC. Также медиана AA1 делит △OBC на два равновеликих треугольника: SOBA1=SOCA1, так как A1 — середина BC, и высоты из точки O к основанию BC для этих треугольников одна и та же.
Обозначим площадь каждого из шести маленьких треугольников через переменные. Пусть SAOB1=x, SBOC1=y, SCOA1=z и т.д. Однако проще использовать равенства площадей. Из того, что BB1 — медиана △ABC, следует SABB1=SCBB1. Из того, что BB1 — медиана △OAC (относительно стороны AC? Нет, B1 — середина AC), то есть SAB1O=SCB1O. Вычтем из первого равенства второе: SABB1-SAB1O=SCBB1-SCB1O Это означает, что SABO=SCBO. Аналогично, используя медиану CC1, получаем SBCO=SACO. Используя медиану AA1, получаем SCAO=SBAO. Таким образом, мы доказали, что три больших треугольника с общей вершиной O (△ABO, △BCO, △CAO) имеют равные площади. Поскольку сумма их площадей равна SABC, то каждая из них равна 1/3SABC.
Теперь рассмотрим один из этих треугольников, например, △ABO. Медиана OC1 (часть медианы CC1) является медианой треугольника △ABO, так как C1 — середина AB. Следовательно, она делит △ABO на два равновеликих треугольника: SAOC1=SBOC1=1/2SABO=1/2·1/3SABC=1/6SABC.
Совершенно аналогично для других двух больших треугольников: В △BCO медиана OA1 делит его пополам: SBOA1=SCOA1=1/6SABC. В △CAO медиана OB1 делит его пополам: SCOB1=SAOB1=1/6SABC.
Проверка и итог.
Мы получили, что площади всех шести треугольников (△AOC1, △BOC1, △BOA1, △COA1, △COB1, △AOB1) равны 1/6 площади исходного треугольника ABC. Следовательно, они попарно равны друг другу. Утверждение доказано.
Доказано: все 6 треугольников имеют площадь 1/6SABC.
Задача относится к теме соотношений в прямоугольном треугольнике формально по разделу учебника, но геометрическое содержание задачи чисто планиметрическое (свойства медиан и площадей). Решение опирается на базовые свойства: медиана делит треугольник на равновеликие части, и центроид делит медиану в отношении 2:1, что приводит к равенству площадей трех центральных треугольников.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 730 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 730?
Краткий ответ: Доказано: все 6 треугольников имеют площадь 16 S_ABC.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.