ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 741: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Расстояние от точки A до центра окружности меньше радиуса. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A, является секущей по отношению к данной окружности.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать, что прямая является секущей, нужно показать, что расстояние от центра окружности до этой прямой меньше радиуса. Мы знаем, что точка A лежит внутри окружности (так как расстояние от неё до центра меньше радиуса). Любая прямая, проходящая через точку A, будет находиться на расстоянии от центра, не превышающем длину отрезка, соединяющего центр с точкой A. Поскольку этот отрезок короче радиуса, то и расстояние от центра до прямой будет меньше радиуса.
Ход решения.
1. Пусть O — центр данной окружности, а R — её радиус. По условию задачи расстояние от точки A до центра O меньше радиуса, то есть OA<R. Это означает, что точка A находится внутри круга.
2. Рассмотрим произвольную прямую l, проходящую через точку A. Опустим из центра O перпендикуляр на эту прямую и обозначим основание перпендикуляра за точку H. Длина отрезка OH равна расстоянию от центра окружности до прямой l.
3. В прямоугольном треугольнике OHA (или в вырожденном случае, когда H совпадает с A) гипотенуза OA всегда больше или равна катету OH. То есть выполняется неравенство OH≤OA.
4. Объединив два полученных неравенства, имеем: OH≤OA<R
5. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой l (OH) строго меньше радиуса окружности (R).
Проверка и вывод.
Из геометрии известно критерий взаимного расположения прямой и окружности: если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух различных точках, то есть является секущей.
Так как мы доказали, что для любой прямой, проходящей через внутреннюю точку A, расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то такая прямая обязательно имеет две общие точки с окружностью.
Ответ: Доказано, что любая прямая, проходящая через точку A, является секущей.
Доказано: так как OA<R и d(O,l)≤OA, то d(O,l)<R, значит прямая — секущая.
Задача требует применения свойств расстояния от точки до прямой и сравнения длин отрезков в прямоугольном треугольнике. Ключевой момент — понимание того, что перпендикуляр — кратчайшее расстояние от точки до прямой, поэтому расстояние от центра до секущей не может превышать расстояние от центра до самой точки на этой прямой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 741 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 741?
Краткий ответ: Доказано: так как OA < R и d(O, l) OA, то d(O, l) < R, значит прямая — секущая.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.