ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 743: Общие касательные двух окружностей

План решения:

• Используем свойство радиуса, проходящего через середину хорды: он перпендикулярен этой хорде.
• Используем свойство касательной к окружности: она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Сделаем вывод о параллельности двух прямых, перпендикулярных одной и той же прямой.

Ход доказательства:

1. По условию задачи радиус OM делит хорду AB пополам. Согласно теореме о перпендикулярности радиуса и хорды, если радиус проходит через середину хорды (не являющейся диаметром), то он перпендикулярен этой хорде.
   Следовательно, OM⊥AB.
2. Точка M лежит на окружности, так как OM — это радиус. Через точку M проведена касательная к окружности. По определению касательной, она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
   Следовательно, касательная перпендикулярна радиусу OM: касательная ⊥OM.
3. Мы получили, что хорда AB и касательная, проведённая через точку M, обе перпендикулярны одной и той же прямой — радиусу OM.
   Из геометрии известно, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой.
   Таким образом, AB∥касательная.

Проверка:

Логика построения верна. Если бы хорда AB была диаметром, то точка M совпала бы с серединой диаметра (центром O) или находилась бы на концах, но условие «делит пополам» при M на окружности подразумевает, что M не является центром, а AB не проходит через центр перпендикулярно себе самой в тривиальном смысле, либо мы рассматриваем общий случай для не-диаметра. В любом случае, перпендикулярность OM к AB и перпендикулярность касательной к OM гарантируют их параллельность.