ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 747: Общие касательные двух окружностей

План решения.

Для доказательства того, что точка касания C является серединой отрезка A₁B₁, воспользуемся свойствами трапеции и окружности. Так как AA₁⊥A₁B₁ и BB₁⊥A₁B₁, то AA₁∥BB₁. Следовательно, четырёхугольник AA₁B₁B — прямоугольная трапеция (или просто трапеция с основаниями AA₁ и BB₁). Точка O — центр окружности и середина диаметра AB. Проведём радиус OC к точке касания прямой A₁B₁. По свойству касательной, OC⊥A₁B₁. Таким образом, OC параллельна основаниям трапеции AA₁ и BB₁. Нам нужно доказать, что A₁C=CB₁.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим трапецию AA₁B₁B. Отрезок OC соединяет середину боковой стороны AB (точку O) с точкой C на другой боковой стороне A₁B₁. Поскольку OC∥AA₁∥BB₁, по теореме о средней линии трапеции (или её обобщении: прямая, проходящая через середину одной боковой стороны трапеции и параллельная основаниям, пересекает другую боковую сторону в её середине), точка C должна быть серединой отрезка A₁B₁.

Давайте проверим это более строго через равенство треугольников или проекций. Проведём из точки A прямую, параллельную A₁B₁, до пересечения с BB₁ в точке K. Тогда AA₁KB₁ — прямоугольник, значит A₁B₁=AK и BK=BB₁-AA₁ (если длины разные) или сумма, если бы они были по разные стороны, но здесь они по одну сторону от касательной относительно центра? Нет, A и B лежат на диаметре, а касательная не проходит через центр. Проекции концов диаметра на касательную. Более простой путь: используем координаты или векторы, либо свойство равнобедренного треугольника. Пусть угол между диаметром AB и касательной равен α. Тогда длина AA₁=Rsin(90^°-α)? Нет. Воспользуемся тем, что O — центр окружности. Расстояние от центра до касательной равно радиусу R. То есть OC=R. Также известно, что для любой хорды (в данном случае диаметра AB) и касательной, параллельной ей... нет, они не параллельны. Вернёмся к трапеции AA₁B₁B. Основания AA₁ и BB₁. Боковая сторона AB. Вторая боковая сторона A₁B₁. Центр O лежит на AB так, что AO=OB=R. Прямая OC перпендикулярна A₁B₁. Значит, OC является высотой трапеции? Нет, OC перпендикулярен основанию A₁B₁ только если мы рассматриваем A₁B₁ как основание. Но в трапеции AA₁B₁B основаниями являются AA₁ и BB₁, так как они параллельны друг другу (оба перпендикулярны A₁B₁). Следовательно, A₁B₁ — это высота трапеции (так как она перпендикулярна основаниям). Тогда OC — это отрезок, соединяющий середину боковой стороны AB с точкой C на высоте A₁B₁, причём OC параллелен основаниям AA₁ и BB₁ (так как OC⊥A₁B₁ и AA₁⊥A₁B₁). По теореме Фалеса (или свойству средней линии трапеции): если прямая проходит через середину одной боковой стороны (O — середина AB) и параллельна основаниям (OC∥AA₁∥BB₁), то она пересекает вторую боковую сторону (A₁B₁) в её середине. Значит, C — середина A₁B₁.

Проверка.

Действительно, пусть M — середина A₁B₁. Соединим O с M. В трапеции AA₁B₁B отрезок OM является средней линией, поэтому OM∥AA₁. Так как AA₁⊥A₁B₁, то и OM⊥A₁B₁. Расстояние от центра O до прямой A₁B₁ равно длине перпендикуляра OM. Но расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу R. Значит, OM=R. Это означает, что точка M лежит на окружности. Поскольку M лежит на касательной и на окружности, то M совпадает с точкой касания C. Следовательно, точка касания C является серединой отрезка A₁B₁. Доказательство верно.