ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 749: Общие касательные двух окружностей

План решения.

Чтобы определить, является ли прямая AH касательной к окружности с центром O, нужно сравнить расстояние от центра O до прямой AH с радиусом окружности R=3 см. По условию AH⊥ прямой, проходящей через O. Однако в задачах такого типа обычно подразумевается, что H лежит на прямой AH, а нам нужно найти расстояние от точки O до прямой AH. Если прямая AH проходит через точку A, то расстояние от O до прямой AH равно длине перпендикуляра, опущенного из O на AH. Но здесь дано, что AH — это отрезок, перпендикулярный некоторой прямой через O. Давайте уточним геометрическую конфигурацию: обычно под «перпендикуляром из точки A к прямой» понимается, что H — основание перпендикуляра на этой прямой. Но вопрос о том, является ли прямая AH касательной, требует знания расстояния от центра O до прямой AH. Расстояние от точки O до прямой AH обозначим как d. Прямая AH будет касательной, если d=R=3 см. В условии сказано: «Отрезок AH — перпендикуляр из точки A к прямой, проходящей через центр O». Это означает, что есть некая прямая l, проходящая через O, и AH⊥l, где H∈l. Тогда треугольник AOH прямоугольный с прямым углом при вершине H. Нам нужно проверить, является ли прямая AH касательной к окружности. Для этого нужно вычислить расстояние от центра O до прямой AH. Поскольку OH⊥AH (так как AH⊥OH, т.к. H лежит на прямой через O, и AH перпендикулярна ей), то длина отрезка OH и есть расстояние от центра O до прямой AH. Таким образом, условие касания: OH=R=3 см. Мы будем находить длину катета OH в прямоугольном треугольнике AOH (∠AHO=90^°) для каждого случая и сравнивать её с радиусом 3 см.

Вычисления по пунктам.

• а) Дано: OA=5 см, AH=4 см. Треугольник AOH прямоугольный (∠H=90^°). По теореме Пифагора: OH=OA²-AH²=5²-4²=25-16=9=3 см . Расстояние от центра до прямой AH равно 3 см, что совпадает с радиусом окружности. Значит, прямая AH касается окружности.
• б) Дано: ∠HAO=45^°, OA=4 см. В прямоугольном треугольнике AOH: OH=OA·sin(∠HAO)=4·sin(45^°)=4·2/2=22 см . Приближённо 2≈1.41, поэтому OH≈2.82 см. Так как 2.82≠3 (точнее, 22=8<9=3), расстояние меньше радиуса. Прямая AH пересекает окружность в двух точках, то есть является секущей, а не касательной.
• в) Дано: ∠HAO=30^°, OA=6 см. В прямоугольном треугольнике AOH: OH=OA·sin(∠HAO)=6·sin(30^°)=6·1/2=3 см . Расстояние от центра до прямой AH равно 3 см, что совпадает с радиусом окружности. Значит, прямая AH касается окружности.

Проверка и вывод.

Во всех случаях мы использовали свойство прямоугольного треугольника AOH, где гипотенуза OA соединяет центр окружности с точкой A, а катет OH представляет собой расстояние от центра O до прямой AH (поскольку AH⊥OH). Критерий касания прямой к окружности: расстояние от центра до прямой равно радиусу. - В пункте а) OH=3=R, ответ «Да». - В пункте б) OH=22≈2.82≠3, ответ «Нет». - В пункте в) OH=3=R, ответ «Да». Результаты согласуются с логикой задачи и ключевыми ответами.