ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 746: Общие касательные двух окружностей

План решения.

Для доказательства равенства углов ∠AMC=3∠BMC воспользуемся свойствами касательных и симметрии. Сначала определим геометрическое положение точек O, B и C. Так как MB — касательная к окружности с центром O в точке B, то радиус OB перпендикулярен касательной: OBbotMB. Точка C симметрична точке O относительно точки B, значит, B является серединой отрезка OC, то есть OB=BC. Из этого следует, что треугольник OMC равнобедренный (MO=MC), а прямая MB является его медианой и высотой одновременно. Далее выразим углы через угол между касательными или через свойства прямоугольных треугольников.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник OMB. Он прямоугольный (∠MBO=90^°). Пусть ∠BMO=β. Тогда ∠BOM=90^°-β. Так как MA и MB — касательные из одной точки M к окружности, то MO является биссектрисой угла ∠AMB. Следовательно, ∠AMO=∠BMO=β, и весь угол ∠AMB=2β. Теперь рассмотрим треугольник MBC и MBO. Отрезок MB общий, OB=BC (по условию симметрии), углы при вершине B равны 90^°. Значит, △MBO=△MBC по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что ∠BMC=∠BMO=β. Нам нужно найти величину угла ∠AMC. Угол ∠AMC состоит из двух частей: ∠AMB и ∠BMC? Нет, посмотрим на расположение лучей. Луч MB лежит внутри угла ∠AMC? Или нет? Давайте проверим расположение. A и B — точки касания. C лежит на продолжении радиуса OB за точку B. Треугольник OMC равнобедренный с основанием OC. Высота MB делит его на два равных прямоугольных треугольника. Поэтому ∠BMC=∠BMO=β. Угол ∠AMB=2β (так как MO биссектриса). Лучи MA и MC лежат по разные стороны от прямой MO? Нет, A и B симметричны относительно MO. C лежит на линии OB. В плоскости точка C находится «ниже» точки B (если смотреть вдоль OB). Рассмотрим углы относительно прямой MO. ∠(AM,MO)=β. ∠(MO,MB)=β. ∠(MB,MC)=β (так как △MBC=△MBO, то ∠BMC=∠BMO=β). Важно понять ориентацию. Точки A и B находятся по разные стороны от прямой MO. Точка C лежит на прямой OB. Прямая OB проходит через центр O и точку B. В треугольнике OMB угол при M равен β. В треугольнике CMB угол при M также равен β. При этом лучи MO и MC лежат по одну сторону от луча MB? Нет. Давайте координатами или векторами проще. Пусть M в начале координат (0,0), MO лежит на оси X. Тогда B имеет координаты (x_B,y_B), A имеет координаты (x_B,-y_B) (симметрия относительно MO). Вектор →MB образует угол -β с осью X (или +β, не важно, возьмем для определенности вниз). Вектор →MA образует угол +β с осью X. Значит, угол ∠AMB=2β. Где точка C? C симметрична O относительно B. Если O лежит на оси X (так как MO ось симметрии для касательных? Нет, MO соединяет внешнюю точку и центр. Да, MO — ось симметрии всей конфигурации касательных). Но B не лежит на MO. B лежит вне оси MO. Однако, мы знаем, что △MBO=△MBC. Это означает, что луч MB является биссектрисой угла ∠OMC. Следовательно, ∠OMC=∠OMB+∠BMC=β+β=2β. При этом луч MC лежит по ту же сторону от MO, что и луч MB? Да, потому что C получается отражением O относительно B, и M,B,C образуют треугольник, где MB общая сторона. Геометрически, если посмотреть на угол ∠OMC, то он равен 2β. А угол ∠OMA=β. Лежат ли лучи MA и MC по разные стороны от MO? A и B по разные стороны от MO. C связана с B. Значит, C лежит в той же полуплоскости относительно MO, что и B. Следовательно, угол ∠AMC складывается из угла ∠AMO и угла ∠OMC. ∠AMC=∠AMO+∠OMC. Мы нашли, что ∠AMO=β. Мы нашли, что ∠OMC=2β (так как MB биссектриса ∠OMC, и ∠OMB=β). Тогда ∠AMC=β+2β=3β. Искомый угол ∠BMC=β. Таким образом, ∠AMC=3∠BMC.

Проверка.

Проверим логику на предельном случае. Если M уходит далеко от окружности, угол β стремится к 0. Все углы стремятся к 0, соотношение сохраняется. Если M приближается к окружности, β увеличивается. Конструкция симметрии C относительно B гарантирует, что △MBC конгруэнтно △MBO. Биссектриса MO угла ∠AMB дает ∠AMO=∠BMO. Суммирование углов вокруг луча MO корректно, так как A и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой MO (так как A симметричен B, а C лежит в полуплоскости B). Следовательно, ∠AMC=∠AMO+∠OMC=β+2β=3β. Доказательство верно.