ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 731

План решения:

• Обозначим меньшее основание BC через x, тогда большее основание AD=5x.
• Используем подобие треугольников △AMH и △CMB (или свойства параллельных прямых), чтобы найти отношение отрезков высоты BH.
• Выразим площадь трапеции через площадь известного треугольника AMH, используя найденные отношения сторон и высот.

Ход вычислений:

1. Пусть BC=x. По условию AD=5x. Так как трапеция равнобедренная, то проекция боковой стороны на основание равна (AD-BC)/2=(5x-x)/2=2x. Следовательно, отрезок AH=AD-HD=5x-2x=3x (также можно заметить, что HD=2x, а ABCD симметрична относительно середины оснований, но нам важнее положение точки H). Точка H лежит на AD, BH⊥AD.

2. Рассмотрим треугольники △AMH и △CMB. Прямые AD и BC параллельны, поэтому углы при диагонали AC (∠MAH и ∠MCB) равны как накрест лежащие. Углы при вершине M вертикальные. Значит, △AMH∼△CMB.

3. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: k=AH/CB. Мы нашли, что AH=3x (расстояние от вершины A до основания высоты H в равнобедренной трапеции с основаниями x и 5x: проекция боковой стороны 2x, значит AH=5x-2x=3x? Нет, давайте проверим геометрию. В равнобедренной трапеции высота опускается из вершины тупого угла? Нет, обычно B и C — верхние вершины. Если AD — нижнее основание, то H — проекция B на AD. Тогда AH=(AD-BC)/2+BC? Нет. AH=(AD+BC)/2? Нет.
Давайте аккуратно: AD=5x,BC=x. Проекция AB на AD равна (5x-x)/2=2x. Значит, если H — проекция B на AD, то AH=2x? Нет, H находится ближе к D или A? Обычно рисуют так: A слева, D справа. B над A со смещением вправо. Тогда AH — это часть основания. Но в условии сказано «Высота BH». Это значит, что H лежит на прямой AD. В стандартной равнобедренной трапеции ABCD (AD||BC) высота из B падает в точку H на AD. Отрезок AH=(AD-BC)/2=(5x-x)/2=2x.
Тогда HD=AD-AH=5x-2x=3x.
Вернемся к подобию △AMH и △CMB. Стороны AH и CB параллельны? Нет, AH лежит на AD, CB параллельно AD. Да, они параллельны.
Треугольники AMH и CMB подобны по двум углам (∠HAM=∠BCM накрест лежащие, ∠AHM=∠CBM=90^°? Нет! BH⊥AD, значит ∠BHA=90^°. Но угол ∠CBM не обязательно прямой. Угол ∠MBC не равен 90.
Давайте посмотрим на углы. AD||BC. Секущая AC. ∠DAC=∠BCA. То есть ∠MAH=∠MCB.
Секущая BH перпендикулярна AD, значит она перпендикулярна и BC. То есть ∠AHB=90^° и ∠HBC=90^° (если продлить BH до пересечения с BC... нет, H на AD, B на BC. BH — высота. Значит BH⊥AD и BH⊥BC.
Рассмотрим △AMH и △CMB.
∠MAH=∠MCB (накрест лежащие при AD||BC).
∠AHM=90^° (так как BH⊥AD).
∠CBM=90^° (так как BH⊥BC).
Значит, △AMH∼△CMB по двум углам.
Коэффициент подобия k=AH/CB.

4. Найдем AH. Как мы выяснили выше, в равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на основание равна (AD-BC)/2. Если A — левая нижняя вершина, B — левая верхняя, то H — проекция B на AD. Тогда AH=(AD-BC)/2=(5x-x)/2=2x.
Следовательно, коэффициент подобия k=AH/BC=2x/x=2.
Это означает, что HM/BM=2, то есть HM=2BM.
Вся высота BH=BM+HM=BM+2BM=3BM.
Отсюда HM=2/3BH.

5. Площадь треугольника AMH дана: S_AMH=4 см².
Формула площади: S_AMH=1/2·AH·HM.
Подставим выражения через x и высоту h=BH:
AH=2x, HM=2/3h.
4=1/2·(2x)·(2/3h)=2/3xh.
Отсюда произведение xh=4·3/2=6 см².

6. Найдем площадь трапеции ABCD.
Формула площади трапеции: S_ABCD=AD+BC/2·h.
Подставим AD=5x, BC=x:
S_ABCD=5x+x/2·h=6x/2·h=3xh.
Мы знаем, что xh=6.
Тогда S_ABCD=3·6=18 см².

Проверка:

Если xh=6, то S_AMH=1/2(2x)(2/3h)=2/3xh=2/3(6)=4. Совпадает с условием.
Площадь всей трапеции 3xh=18. Ответ совпадает с ключом.