ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 728

План решения.

Для нахождения площади параллелограмма ABCD воспользуемся свойствами подобия треугольников и соотношением площадей. Сначала определим отношение отрезков на диагонали AC, используя подобие треугольников △APK и △CPB. Затем выразим площадь всего параллелограмма через площадь треугольника APK, учитывая, что точка P делит диагональ в определённом отношении, а высота параллелограмма связана с высотой треугольника ABC.

Вычисление.

1. Пусть длина стороны AD=a. По условию AK=1/4KD. Обозначим KD=x, тогда AK=1/4x. Сумма этих отрезков равна стороне AD: AK+KD=AD⇒1/4x+x=a⇒5/4x=a⇒x=4/5a. Следовательно, AK=1/4·4/5a=1/5a.

2. Рассмотрим треугольники △APK и △CPB. Так как AD∥BC (свойства параллелограмма), то углы △KAP и △BCP при пересечении секущей AC равны (∠KAP=∠PCB как накрест лежащие). Также вертикальные углы при вершине P равны (∠APK=∠CPB). Значит, △APK∼△CPB по двум углам.

3. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон: k=AK/BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BC=AD=a. Подставим найденное значение AK: k=1/5a/a=1/5.

4. Из подобия следует, что отношение высот этих треугольников, проведённых из вершины P к основаниям AK и BC, также равно 1/5. Но нам важнее отношение отрезков диагонали: AP/PC=AK/BC=1/5. Это значит, что PC=5AP, а вся диагональ AC=AP+PC=AP+5AP=6AP. Отсюда AP=1/6AC.

5. Теперь найдём связь между площадями. Площадь треугольника ABC составляет половину площади параллелограмма ABCD: S_ABC=1/2S_ABCD. Треугольник APK не является частью треугольника ABC напрямую, но мы можем рассмотреть треугольник ABK или использовать другой подход. Давайте рассмотрим треугольник ACK. Его площадь можно найти через высоту параллелограмма h (расстояние между AD и BC): S_ACK=1/2·AK·h=1/2·1/5a·h=1/10ah. Поскольку S_ABCD=ah, то S_ACK=1/10S_ABCD.

6. Точка P лежит на отрезке BK, который пересекает AC. Нам дана площадь △APK. Рассмотрим треугольники △APK и △ABP. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины A на прямую BK? Нет, удобнее сравнить △APK и △CPK или использовать отношение оснований на диагонали.

Давайте используем более прямой путь через отношение площадей треугольников с общей высотой.

Рассмотрим △ABC. Проведём отрезок BP. Он не проходит через центр. Вернёмся к подобным треугольникам △APK и △CPB. Их площади относятся как квадрат коэффициента подобия: S_APK/S_CPB=k²=(1/5)²=1/25. Значит, S_CPB=25S_APK=25 см².

Теперь найдём площадь △APB. Треугольники △APB и △CPB имеют общую высоту, опущенную из вершины B на диагональ AC. Их площади относятся как длины оснований AP и PC: S_APB/S_CPB=AP/PC=1/5. Отсюда S_APB=1/5S_CPB=1/5·25=5 см².

Аналогично, треугольники △APK и △CPK имеют общую высоту из K к AC. S_APK/S_CPK=AP/PC=1/5⇒S_CPK=5S_APK=5 см² .

Площадь треугольника ACK равна сумме площадей △APK и △CPK: S_ACK=S_APK+S_CPK=1+5=6 см² .

Как мы выяснили ранее (пункт 5), S_ACK=1/10S_ABCD. Поэтому: 1/10S_ABCD=6⇒S_ABCD=60 см² .

Проверка.

Если площадь параллелограмма 60, то площадь △ABC=30. Высота параллелограмма h=60/a. Площадь △ACK=0.5·(a/5)·h=0.1·60=6. Соотношение AP:PC=1:5. Площадь △APK должна быть 1/6 от площади △ACK (так как они имеют общую высоту из K к AC, а основание AP составляет 1/6 от AC? Нет, основание AP относится к основанию AC как 1:6. Да, AP=1/6AC. Тогда S_APK=AP/ACS_ACK=1/6·6=1. Результат совпадает с условием задачи.