ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 721

План решения.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD=a и BC=b. Пусть диагонали пересекаются в точке O, а искомый отрезок MN проходит через точку O параллельно основаниям, где M лежит на боковой стороне AB, а N — на боковой стороне CD. Нам нужно найти длину MN. Для этого выразим длины частей отрезка MO и ON через основания трапеции, используя свойства подобных треугольников.

Вычисление.

1. Рассмотрим треугольники △AOD и △COB. Так как AD∥BC (основания трапеции), то углы при вершине O равны как вертикальные, а углы △DAO и △BCO равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, △AODbacksim△COB.

2. Из подобия следует отношение соответствующих сторон:

3. Теперь рассмотрим треугольник △ABC. Отрезок MO параллелен основанию BC (так как MN∥AD и AD∥BC, то MN∥BC). По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия △AMObacksim△ABC):

Заметим, что AC=AO+OC. Из предыдущего отношения AO/OC=a/b можно выразить долю AO от всей диагонали AC. Если представить AO=ak и OC=bk, то AC=k(a+b). Тогда:

Подставим это в формулу для MO:

4. Аналогично найдем длину ON. Рассмотрим треугольник △ABD. Отрезок MO параллелен AD. Но удобнее рассмотреть треугольник △ADC или использовать симметрию. В треугольнике △DBC отрезок ON параллелен BC? Нет, ON параллелен AD. Рассмотрим △ADC. Прямая ON параллельна AD. Треугольники △CON и △CAD подобны?

Давайте проще: рассмотрим △ABD. MO∥AD. Это не совсем так. M на AB, O на диагоналях. MO∥AD. Значит, △BMObacksim△BAD? Нет, MO параллельно основаниям. В △ABD прямая, проходящая через O параллельно AD, отсекает отрезок... Давайте используем другой треугольник.

Рассмотрим △ADC. Точка O лежит на AC. Прямая ON параллельна AD (N на CD). Тогда △CONbacksim△CAD.

Мы знаем, что CO/CA=b/a+b (так как AO/OC=a/b, то OC/AO+OC=b/a+b).

Тогда:

5. Полная длина отрезка MN равна сумме длин его частей:

Проверка.

Если трапеция является параллелограммом (a=b), то диагонали делятся пополам. Отрезок, проходящий через центр параллельно сторонам, должен быть равен стороне. Подставим a=b в формулу: 2a²/2a=a. Результат совпадает. Если одна из сторон стремится к нулю (треугольник), то длина отрезка также стремится к нулю, что логично для точки пересечения медиан/высот в вырожденном случае. Формула дает положительное значение меньше обоих оснований, если a≠b, что геометрически верно для гармонического среднего.