ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 719
Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что треугольники ABC и A_1B_1C_1 подобны, если
а) AB/A1B1=AC/A1C1=BM/B_1M_1, где BM и B_1M_1 — медианы треугольников
б) ∠A=A1, AC/A1C1=BH/B_1H_1, где BH и B_1H_1 — высоты треугольников ABC и A_1B_1C_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В обоих пунктах задача сводится к доказательству подобия треугольников через вспомогательные элементы (медиану и высоту). Сначала мы выделим малые треугольники, содержащие эти элементы, докажем их подобие по известным признакам, а затем используем полученные соотношения углов или сторон для доказательства подобия исходных треугольников ABC и A1B1C1.
Решение пункта а).
Дано: AB/A1B1=AC/A1C1=BM/B1M1, где BM и B1M1 — медианы. Так как BM — медиана треугольника ABC, то точка M является серединой стороны AC, следовательно, AM=1/2AC. Аналогично, в треугольнике A1B1C1 точка M1 — середина A1C1, поэтому A1M1=1/2A1C1.
Рассмотрим отношение AM/A1M1: AM/A1M1=1/2AC/1/2A1C1=AC/A1C1 Из условия задачи известно, что AC/A1C1=AB/A1B1=BM/B1M1. Следовательно, выполняется равенство: AB/A1B1=AM/A1M1=BM/B1M1 Это означает, что соответствующие стороны треугольников ABM и A1B1M1 пропорциональны. По первому признаку подобия треугольников (по трём сторонам) заключаем, что △ABM∼△A1B1M1.
Из подобия этих треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAM=∠B1A1M1. Поскольку точки M и M1 лежат на сторонах AC и A1C1 соответственно, угол ∠BAM совпадает с углом ∠BAC (или просто ∠A), а угол ∠B1A1M1 совпадает с углом ∠B1A1C1 (∠A1). Таким образом, ∠A=∠A1.
Теперь вернёмся к исходным треугольникам ABC и A1B1C1. У нас есть два факта: 1) AB/A1B1=AC/A1C1 (из условия); 2) ∠A=∠A1 (доказано выше). По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Что и требовалось доказать.
Решение пункта б).
Дано: ∠A=∠A1, AC/A1C1=BH/B1H1, где BH и B1H1 — высоты. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1. В них углы при основаниях высот прямые: ∠AHB=∠A1H1B1=90°. Также по условию ∠A=∠A1 (так как высота опущена из вершины B на сторону AC, угол ∠BAH совпадает с углом ∠A треугольника ABC).
Так как два угла одного треугольника равны двум углам другого (∠AHB=∠A1H1B1 и ∠BAH=∠B1A1H1), то по первому признаку подобия треугольников имеем △ABH∼△A1B1H1.
Из подобия этих треугольников следует пропорциональность соответствующих гипотенуз и катетов: AB/A1B1=BH/B1H1 По условию задачи нам дано соотношение AC/A1C1=BH/B1H1. Объединив это с полученным равенством, находим: AB/A1B1=AC/A1C1
Теперь рассмотрим исходные треугольники ABC и A1B1C1. Мы установили, что две пары соответствующих сторон пропорциональны (AB/A1B1=AC/A1C1), и угол между этими сторонами равен (∠A=∠A1 по условию). Следовательно, по второму признаку подобия треугольников △ABC∼△A1B1C1. Что и требовалось доказать.
Проверка.
Логика рассуждений корректна: в пункте а) использование свойства медианы позволило перейти от отношения целых сторон к отношению половин, что дало возможность применить признак подобия по трём сторонам для вспомогательных треугольников и найти общий угол. В пункте б) наличие общего острого угла и прямого угла гарантировало подобие прямоугольных треугольников, образованных высотой, что позволило связать отношение высот с отношением боковых сторон. Оба вывода привели к выполнению условий второго признака подобия для основных треугольников.
а) Доказано через подобие △ABM∼△A1B1M1 по трём сторонам, откуда ∠A=∠A1, и далее △ABC∼△A1B1C1 по двум сторонам и углу.
б) Доказано через подобие △ABH∼△A1B1H1 по двум углам, откуда AB/A1B1=BH/B1H1=AC/A1C1, и далее △ABC∼△A1B1C1 по двум сторонам и углу.
Задача требует аккуратного обращения с определениями медианы и высоты. Ключевой момент в пункте а) — понимание того, что медиана делит сторону пополам, поэтому отношение половин сторон равно отношению целых сторон. В пункте б) важно заметить, что высота образует прямоугольный треугольник, содержащий данный угол A.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 719 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 719?
Краткий ответ: а) Доказано через подобие ABM A_1B_1M_1 по трём сторонам, откуда A = A_1, и далее ABC A_1B_1C_1 по двум сторонам и углу. б) Доказано через подобие ABH A_1B_1H_1 по двум углам, откуда ABA_1B_1 = BHB_1H_1 = ACA_1C_1, и далее ABC A_1B_1C_1 по двум сторонам и углу.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.