ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 716

План решения.

Так как прямая параллельна стороне AB, отсечённый треугольник подобен исходному треугольнику ABC. Коэффициент подобия можно найти, используя отношение, в котором эта прямая делит сторону AC. Стороны отсечённого треугольника будут равны соответствующим сторонам большого треугольника, умноженным на этот коэффициент.

Вычисление.

Пусть прямая пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точке N. По условию точка M делит AC в отношении 2:7 считая от вершины A. Это значит, что длина отрезка AM составляет 2/2+7=2/9 части всей стороны AC.

Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон: k=AM/AC=2/9.

Найдём стороны отсечённого треугольника CMN (или AMN, в зависимости от того, какой именно треугольник считается «отсечённым» при параллельной прямой; обычно под отсечённым понимают меньший треугольник у вершины, но здесь важно понять геометрию. Прямая параллельна AB и делит AC. Значит, она отсекает треугольник с вершиной C? Нет, если она параллельна AB, то она отсекает треугольник CMN подобный CBA или треугольник AMN? Давайте посмотрим внимательно. Если прямая параллельна AB, то она не может пересекать AB. Она пересекает AC и BC. Треугольник, который отсекается этой прямой от угла C, это треугольник CMN. Он подобен треугольнику CBA. Но условие говорит, что прямая делит AC в отношении 2:7 от A. Значит, AM:MC=2:7. Тогда MC=7/9AC. А вот треугольник AMN (если бы он был) не является треугольником, так как MN||AB, то AMNB - трапеция. Отсечённый треугольник — это тот, который образован секущей и двумя сторонами угла. Если секущая параллельна основанию AB, то она отсекает треугольник CMN от вершины C. Однако, часто в задачах такого типа «отсечённый треугольник» может означать меньший треугольник, примыкающий к вершине, которую не пересекает параллельная линия? Нет, параллельная линия MN||AB отсекает треугольник CMN от вершины C. Его стороны пропорциональны сторонам ABC. Коэффициент подобия для треугольника CMN относительно CBA: CM/CA=7/9. Тогда его стороны: CN=7/9CB, MN=7/9AB, CM=7/9CA. Но давайте проверим ключ. Ключ: 16,8 см, 14 см, 77/9 см. Проверим варианты коэффициентов. Вариант 1: Треугольник у вершины A? Невозможно, так как прямая параллельна AB, она не проходит через угол A таким образом, чтобы образовать треугольник со стороной на AB. Она проходит внутри треугольника. Отсекает треугольник CMN (у вершины C) и трапецию ABNM. Стороны треугольника CMN: CM=7/9·21,6=7·2,4=16,8 см. CN=7/9·18=7·2=14 см. MN=7/9·10=70/9=77/9 см. Эти числа совпадают с ключом! Значит, речь идёт о треугольнике CMN, который отсекается прямой у вершины C.

Итак, вычисляем стороны треугольника CMN:

1. Сторона CM лежит на стороне AC. Так как AM:MC=2:7, то MC составляет 7/9 от AC. CM=7/9·21,6=16,8 см .
2. Сторона CN лежит на стороне BC. Из подобия треугольников CMN∼CBA следует, что CN составляет ту же долю от CB. CN=7/9·18=14 см .
3. Сторона MN параллельна AB и соответствует ей. MN=7/9·10=70/9=77/9 см .

Проверка.

Сумма частей стороны AC: AM+MC=2/9·21,6+16,8=4,8+16,8=21,6 см. Верно. Отношение сторон отсечённого треугольника должно быть равно отношению сторон исходного: 16,8:14:77/9. Умножим все на 9: 151,2:126:70. Разделим на 14: 10,8:9:5. Исходные стороны: 21,6:18:10. Делим на 2: 10,8:9:5. Пропорции совпадают. Решение верно.