ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 711

План решения.

Для доказательства равенства AC²=a·b необходимо использовать свойство подобных треугольников. Диагональ AC делит трапецию ABCD на два треугольника: △ABC и △CDA. По условию задачи эти треугольники подобны. Нам нужно установить соответствие между их сторонами, чтобы выразить диагональ AC через основания трапеции a и b.

Вычисление и доказательство.

Пусть основания трапеции равны AD=b и BC=a. Так как ABCD — трапеция, то её основания параллельны: AD∥BC. Следовательно, углы при диагонали AC, являющиеся накрест лежащими, равны: ∠DAC=∠BCA.

По условию △ABC∼△CDA. Запишем отношение соответствующих сторон для этих подобных треугольников. Чтобы найти связь с диагональю AC, выберем пары сторон так, чтобы одна из них была диагональю в обоих треугольниках или связана с ней через пропорцию.

Из подобия следует, что отношение стороны, противолежащей углу ∠BAC (или смежному), к другой стороне постоянно. Более простой путь — рассмотреть углы. В трапеции сумма углов при боковой стороне равна 180^°, но здесь важнее структура подобия. Если △ABC∼△CDA, то углы одного треугольника равны углам другого. Поскольку ∠BCA=∠DAC (накрест лежащие), то вершина C первого треугольника соответствует вершине A второго, а вершина A первого соответствует вершине C второго (так как это единственная возможность сохранить порядок углов при повороте/отражении для трапеции, где основания разные). Тогда третья пара углов также должна быть равна: ∠BAC=∠DCA и ∠ABC=∠CDA. Запишем пропорцию из подобия △ABC∼△CDA: AC/CA=BC/DA=AB/CD Здесь мы видим тривиальное равенство 1=1 для первой пары, если брать одинаковые стороны. Нужно взять другие соответствующие стороны. Давайте аккуратно определим соответствие вершин. У нас есть угол ∠BCA (в △ABC) и угол ∠CAD (в △CDA). Они равны. Так как треугольники подобны, то существует такое соответствие вершин, при котором углы совпадают. Возможны два варианта подобия: 1) △ABC∼△CDA. Тогда ∠B=∠D, ∠BAC=∠DCA, ∠BCA=∠DAC. Это верно для любой трапеции? Нет, только если она равнобедренная или имеет специфические свойства. Но нам дано, что они подобны. При таком соответствии (A↔C, B↔D, C↔A): Отношение соответствующих сторон: AB/CD=BC/DA=AC/CA Это не дает нужного результата напрямую для квадрата диагонали. Рассмотрим другое соответствие, которое часто встречается в задачах на «золотое сечение» трапеции или прямоугольную трапецию, но здесь общая. Если △ABC∼△CDA, то углы при основании диагонали должны соотноситься. Мы знаем, что ∠ACB=∠CAD (накрест лежащие). Значит, в подобии вершина C треугольника ABC соответствует вершине A треугольника CDA. Теперь посмотрим на сторону AC в треугольнике ABC. Она лежит против угла B. Сторона AC в треугольнике CDA лежит против угла D. Если △ABC∼△CDA, то ∠B=∠D. Тогда отношение сходственных сторон: AC(из △ABC)/CA(из △CDA) =BC(против ∠BAC)/DA(против ∠DCA) Это снова приводит к 1=a/b, что неверно для произвольной трапеции. Пересмотрим условие подобия. Обычно в таких задачах подразумевается, что △ABC подобен △CDA в порядке вершин A→C, B→D, C→A? Нет. Давайте используем факт: ∠BCA=∠CAD. Пусть этот угол равен α. В △ABC угол при вершине C равен α. В △CDA угол при вершине A равен α. Чтобы треугольники были подобны, остальные углы должны совпадать. Пусть ∠BAC=β. Тогда ∠DCA должен быть равен либо β, либо другому углу. Если △ABC∼△CDA, то обычно пишут соответствие вершин так, чтобы равные углы стояли на одних местах. У нас уже есть пара равных углов: ∠BCA и ∠CAD. Значит, вершина C первого треугольника соответствует вершине A второго. Остается выбрать соответствие для вершин A и B первого треугольника и C и D второго. Вариант 1: A↔C и B↔D. Тогда ∠BAC=∠DCA и ∠ABC=∠CDA. Это означает, что трапеция равнобедренная (∠B=∠D?) Нет, углы при основаниях. Если ∠ABC=∠CDA, то это возможно. Пропорция: AC/CA=BC/DA=AB/CD. Снова 1=a/b. Противоречие, если a≠b. Вариант 2: A↔D и B↔C. Тогда ∠BAC=∠ADC и ∠ABC=∠DCA. Проверим пропорцию для этого случая (△ABC∼△DCA): Соответствие вершин: A→D, B→C, C→A. Тогда стороны относятся как: AB/DC=BC/CA=AC/DA Нас интересует средняя часть и последняя часть: BC/AC=AC/DA Подставим обозначения оснований: BC=a, DA=b. a/AC=AC/b Отсюда методом перекрестного умножения получаем: AC·AC=a·b AC²=ab Этот вариант подобия (△ABC∼△DCA) геометрически возможен, если ∠BAC=∠D и ∠B=∠ACD. Условие задачи говорит просто «подобных треугольников», не уточняя порядок вершин в записи △ABC и △CDA. Однако стандартная запись △ABC∼△CDA подразумевает соответствие A-C,B-D,C-A, что привело к противоречию. Скорее всего, в условии подразумевается множество треугольников △ABC и △CDA подобны, и нам нужно найти правильное соответствие. Правильным является соответствие, дающее нетривиальный результат, то есть △ABC∼△DCA (или эквивалентное ему).

Проверка.

Равенство AC²=ab является известным свойством трапеции, диагональ которой делит её на подобные треугольники (такие трапеции иногда называют «прямоугольными» в контексте свойств диагоналей, хотя сам угол не обязательно прямой, но выполняется условие AC²=AD·BC). Логическая цепочка построена корректно: из подобия треугольников составлена пропорция, связывающая диагональ с основаниями, что привело к искомому равенству.