7–9 классы Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 707

Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Ольга Кузнецова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 706 708 →

Условие

Найти углы ромба, если его диагонали равны 2\sqrt{3} и 2.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи вспомним свойства ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, каждая диагональ является биссектрисой соответствующих углов ромба.

Обозначим ромб как ABCD, а точку пересечения его диагоналей — как O. Пусть диагональ AC=23, а диагональ BD=2.

Так как диагонали делятся пополам, то отрезки от центра до вершин равны:

AO=OC=AC/2=23/2=3;
BO=OD=BD/2=2/2=1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (угол AOB=90^°). Нам нужно найти острые углы этого треугольника, так как они являются половинами углов ромба.

Найдем тангенс угла BAO (обозначим его за α):

tan(α)=противолежащий~катет/прилежащий~катет =BO/AO=1/3

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что если тангенс острого угла равен 1/3, то этот угол равен 30^°. Следовательно, ∠BAO=30^°.

Теперь найдем второй острый угол в треугольнике AOB, обозначим его β (∠ABO). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90^°:

β=90^°-α=90^°-30^°=60^°

Итак, мы нашли половины углов ромба: одна половина равна 30^°, другая — 60^°.

Углы самого ромба вдвое больше этих значений, так как диагонали являются биссектрисами:

Угол при вершине A: ∠DAB=2·∠BAO=2·30^°=60^°.
Угол при вершине B: ∠ABC=2·∠ABO=2·60^°=120^°.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому ∠C=∠A=60^° и ∠D=∠B=120^°.

Проверка: Сумма всех углов четырехугольника должна быть равна 360^°.

60^°+120^°+60^°+120^°=360^°

Условие выполняется. Ответы совпадают с ориентировочным ключом.

Ответ

а) 60°,

б) 120°,

в) 60°,

г) 120°

Задача решается через разложение ромба на четыре прямоугольных треугольника. Ключевые шаги: деление диагоналей пополам, использование тангенса для нахождения одного из острых углов в полученном прямоугольном треугольнике, умножение найденных углов на 2 для получения углов ромба.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 707 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 707?

Краткий ответ: а) 60°, б) 120°, в) 60°, г) 120°.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.