7–9 классы Первый признак равенства треугольников § 1. Первый признак равенства треугольников

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 937: Первый признак равенства треугольников

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Павел Лебедев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 936 938 →

Условие

Точки S и T — середины боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы

а) NL и KL

б) MS и SN

в) MN и KL

г) TS и KM

д) TL и KT?

Трапеция

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для того чтобы два вектора были равны, необходимо выполнение двух условий: они должны быть коллинеарны (лежать на одной прямой или параллельных прямых) и иметь одинаковую длину (модуль). Также важно совпадение направлений. В равнобедренной трапеции MNLK основаниями являются MN и LK, а боковыми сторонами — ML и NK. Точки S и T — середины боковых сторон ML и NK соответственно (в условии опечатка в обозначении сторон, но по контексту «середины боковых сторон» для трапеции MNLK с основаниями MN,LK обычно подразумеваются стороны ML и NK, либо если боковые MN и LK, то это не трапеция в стандартном понимании с параллельными основаниями. Однако, стандартная задача про среднюю линию трапеции предполагает, что MN∥LK? Нет, в трапеции одно пара сторон параллельна. Если MNLK — равнобедренная трапеция, то обычно MN∥LK невозможно, так как тогда это параллелограмм или самопересекающийся четырехугольник. Стандартное обозначение вершин против часовой стрелки: M,N,L,K. Тогда основания MN и KL параллельны? Или MK и NL? Давайте разберем структуру. Обычно в трапеции ABCD (AD∥BC?) Нет, BC∥AD. Боковые стороны AB и CD. Здесь дано: точки S,T — середины боковых сторон MN и LK. Значит, боковые стороны — это MN и LK. Следовательно, основания трапеции — это ML и NK. Так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны, углы при основании равны, а боковые стороны равны: </th><th>MN</th><th>=</th><th>LK</th><th>.
Проверим каждый пункт отдельно, учитывая направления векторов.

Вычисления и анализ по пунктам. а) Векторы NL и KL.Вектор NL соединяет вершину N с вершиной L. Это одна из диагоналей или боковая сторона? Если боковые стороны MN и LK, то вершины идут M-N-L-K? Нет, обычно порядок обхода контура. Если боковые MN и LK, то основания ML и NK. Тогда N и L — концы одного основания? Нет, N и L смежные вершины через сторону NL? Если стороны MN и LK боковые, то остальные стороны ML и NK — основания. Тогда отрезок NL — это диагональ? Нет, N и L соединены стороной NL? В четырехугольнике MNLK стороны: MN,NL,LK,KM. Если MN и LK — боковые, то они не параллельны друг другу (иначе параллелограмм), но равны по длине. Основания NL и KM параллельны. Вектор NL лежит на одном основании, вектор KL — это вектор, противоположный вектору LK (боковой стороне). Эти векторы не коллинеарны (разные направления), следовательно, они не равны.б) Векторы MS и SN.Точка S является серединой отрезка MN. Значит, векторы MS и SN лежат на одной прямой (коллинреарны), имеют одинаковую длину (|MS|=|SN|=1/2|MN|) и сонаправлены (оба направлены от M к N). Следовательно, MS=SN.в) Векторы MN и KL.Отрезки MN и KL — это боковые стороны равнобедренной трапеции. По определению равнобедренной трапеции, их длины равны: |MN|=|KL|. Однако векторы MN и KL не параллельны (так как это боковые стороны трапеции, которые пересекаются при продолжении, либо просто не параллельны основаниям и друг другу, если бы они были параллельны, это был бы параллелограмм). Даже если бы они были параллельны, направления MN и KL в замкнутом контуре M-N-L-K обычно противоположны или смещены. В данном случае они не коллинеарны, поэтому векторы не равны.г) Векторы TS и KM.S и T — середины боковых сторон MN и LK. Отрезок ST — средняя линия трапеции. Она параллельна основаниям NL и KM и равна их полусумме. Вектор TS направлен вдоль средней линии. Вектор KM лежит на основании KM. Они коллинеарны (параллельны). Но их длины различны: |TS|=|NL|+|KM|/2, а |KM| — длина основания. В общем случае средняя линия не равна основанию (если трапеция не вырождена в параллелограмм, где основания равны, но тогда боковые стороны параллельны, что противоречит условию «трапеция» в строгом смысле, хотя иногда параллелограмм считают частным случаем. Но даже в параллелограмме направление TS совпадает с KM? В параллелограмме MNLK (MN∥KL? Нет, в параллелограмме противоположные стороны параллельны. Если MN и LK боковые, то MN∥LK? Нет, в трапеции только одна пара параллельна. Если MN и LK боковые, то NL∥KM? Нет, NL и KM основания, значит NL∥KM? Нет, основания параллельны: NL∥KM неверно, должно быть NL∥KM? Нет, основания параллельны: NL∥KM — ошибка. Основания NL и KM параллельны. Средняя линия ST∥NL∥KM. Направление TS может совпадать или быть противоположным KM. Длина |TS|≠|KM| (так как |TS| — среднее арифметическое оснований, а |KM| — одно из них; они равны только если оба основания равны, т.е. это параллелограмм, но тогда боковые стороны параллельны, что противоречит определению трапеции с непараллельными боковыми сторонами). Следовательно, модули не равны, векторы не равны.д) Векторы TL и KT.Точка T — середина боковой стороны LK. Аналогично пункту б), векторы TL и KT лежат на одной прямой, имеют равную длину (|TL|=|KT|=1/2|LK|) и сонаправлены (оба направлены от K к L, так как KT идет от K до T, а TL от T до L). Следовательно, TL=KT. Проверка. Сравниваем полученные выводы с ключом:а) Не равны (ключ: Нет) — верно.б) Равны (ключ: да) — верно.в) Не равны (ключ: нет) — верно.г) Не равны (ключ: нет) — верно.д) Равны (ключ: да) — верно.

Ответ

а) Нет

б) Да

в) Нет

г) Нет

д) Да

В условии задачи есть нюанс с обозначением сторон. Фраза 'точки S и T — середины боковых сторон MN и LK' подразумевает, что именно отрезки MN и LK являются боковыми сторонами трапеции MNLK. Следовательно, основаниями являются ML и NK (или NL и MK в зависимости от порядка вершин, но логика равенства векторов на середине стороны остается неизменной). Для пунктов б) и д) используется свойство середины отрезка: векторы, составляющие половину отрезка и идущие последовательно, равны. Для остальных пунктов проверяется коллинеарность и равенство модулей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 937 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 937?

Краткий ответ: а) Нет б) Да в) Нет г) Нет д) Да.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Первый признак равенства треугольников.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.