ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 938: Первый признак равенства треугольников

План решения.

Задача состоит из двух частей: прямой и обратной теорем. Для доказательства будем использовать свойства равных векторов и координатный метод (или векторную алгебру), так как это наиболее наглядный способ работы с серединами отрезков. Обозначим середины отрезков AD и BC точками M и N соответственно. Нам нужно показать, что равенство векторов AB=CD влечёт совпадение точек M и N, и наоборот.

Доказательство прямого утверждения.

Пусть дано, что AB=CD. Это означает, что отрезки AB и CD параллельны, равны по длине и одинаково направлены. Следовательно, четырёхугольник ABDC является параллелограммом (так как противоположные стороны AB и CD равны и параллельны). В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Диагоналями данного параллелограмма являются отрезки AD и BC. Пусть точка их пересечения — O. Тогда AO=OD и BO=OC. Значит, точка O является серединой отрезка AD и одновременно серединой отрезка BC. Таким образом, середины отрезков AD и BC совпадают.

Доказательство обратного утверждения.

Пусть середины отрезков AD и BC совпадают. Обозначим эту общую середину точкой M. По условию, AM=MD и BM=MC. Рассмотрим четырёхугольник ABDC. Его диагонали AD и BC пересекаются в точке M и делятся ею пополам. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Значит, ABDC — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Стороны AB и CD являются противоположными. Поскольку они лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину, а направление обхода вершин A→B и C→D в параллелограмме ABDC обеспечивает одинаковую ориентацию векторов (вектор AB соответствует вектору CD при параллельном переносе), то векторы AB и CD равны.

Проверка.

Логика рассуждений опирается на фундаментальные свойства параллелограмма. Прямое утверждение использует свойство «равные и параллельные стороны образуют параллелограмм», обратное — признак параллелограмма через диагонали. Оба перехода корректны для евклидовой геометрии плоскости.