10 класс Представление чисел в системах счисления § 10. Представление чисел в системах счисления

ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 10.16: Представление чисел в системах счисления

Информатика — Босова Л.Л., Босова А.Ю.

Мария Волкова, методист по информатике Шпаргача обновлено 12 сентября 2026

← 10.15 10.17 →

Условие

Найдите наименьшие основания систем счисления x и y, исходя из условий

а) 23_x=21_y

б) 51_x=15_y

в) 144_x=441_y.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решение задачи 10.16

Для решения задачи необходимо перевести числа из систем счисления с основаниями x и y в десятичную систему, составить уравнения и найти наименьшие целые значения оснований, удовлетворяющие условиям. Важно помнить, что основание системы счисления должно быть строго больше любой цифры, входящей в запись числа.

Шаг 1. Анализ условия 23_x=21_y

Запишем числа в развёрнутой форме:

2·x¹+3·x⁰=2·y¹+1·y⁰ 2x+3=2y+1

Выразим одну переменную через другую. Перенесём слагаемые:

2y-2x=3-1 2(y-x)=2 y-x=1impliesy=x+1

Определим ограничения на основания:

В числе 23_x есть цифра 3, значит x>3. Минимальное целое значение x=4.
В числе 21_y есть цифра 2, значит y>2.

Найдём минимальные x и y:

Если x=4, то y=4+1=5. Проверим ограничения: x=4>3 (верно), y=5>2 (верно).

Проверка равенства:

23₄=2·4+3=11₁₀ 21₅=2·5+1=11₁₀

Равенство выполняется. Наименьшие основания: x=4,y=5.

Шаг 2. Анализ условия 51_x=15_y

Запишем числа в развёрнутой форме:

5·x¹+1·x⁰=1·y¹+5·y⁰ 5x+1=y+5

Выразим y через x:

y=5x+1-5 y=5x-4

Определим ограничения на основания:

В числе 51_x есть цифра 5, значит x>5. Минимальное целое значение x=6.
В числе 15_y есть цифра 5, значит y>5.

Найдём минимальные x и y:

Подставим минимально возможное x=6:

y=5·6-4=30-4=26

Проверим ограничение для y: 26>5 (верно).

Проверка равенства:

51₆=5·6+1=31₁₀ 15₂₆=1·26+5=31₁₀

Равенство выполняется. Наименьшие основания: x=6,y=26.

Шаг 3. Анализ условия 144_x=441_y

Запишем числа в развёрнутой форме:

1·x²+4·x¹+4·x⁰=4·y²+4·y¹+1·y⁰ x²+4x+4=4y²+4y+1

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

(x+2)²=4y²+4y+1

Правую часть также можно представить как полный квадрат:

4y²+4y+1=(2y+1)²

Таким образом, получаем уравнение:

(x+2)²=(2y+1)²

Извлекая квадратный корень, получаем два случая. Так как основания систем счисления положительны (x>0,y>0), то x+2>0 и 2y+1>0. Следовательно, рассматриваем только случай равенства положительных корней:

x+2=2y+1 x=2y-1

Определим ограничения на основания:

В числе 144_x есть цифра 4, значит x>4. Минимальное целое значение x=5.
В числе 441_y есть цифра 4, значит y>4. Минимальное целое значение y=5.

Найдём минимальные x и y:

Начнём перебирать минимально возможные значения y, так как x выражается через y.

Минимальное допустимое y=5.

Подставим y=5 в формулу x=2y-1:

x=2·5-1=9

Проверим ограничение для x: 9>4 (верно).

Проверка равенства:

144₉=1·9²+4·9+4=81+36+4=121₁₀ 441₅=4·5²+4·5+1=4·25+20+1=100+20+1=121₁₀

Равенство выполняется. Наименьшие основания: x=9,y=5.

Ответ

а) x=4,y=5

б) x=6,y=26

в) x=9,y=5

В каждом пункте сначала переводим числа в десятичную систему, затем решаем полученное диофантово уравнение или выражаем одну переменную через другую. Обязательно учитываем условие, что основание системы счисления должно быть больше максимальной цифры в записи числа. Для пункта 3 важно заметить сворачивание в полные квадраты.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 10.16 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Информатика», Босова Л.Л., Босова А.Ю.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 10.16?

Краткий ответ: 1) x=4, y=5 2) x=6, y=26 3) x=9, y=5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Информатика», Босова Л.Л., Босова А.Ю.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Представление чисел в системах счисления.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.