ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 11.2: Перевод чисел из одной системы в другую

Четырёхзначное шестнадцатеричное число имеет вид d₃d₂d₁d₀, где каждая цифра d_i принимает значение от 0 до F (от 0 до 15 в десятичной системе). При переводе в двоичную систему каждая шестнадцатеричная цифра заменяется на группу из четырёх битов (4 цифры).

Таким образом, полная двоичная запись такого числа состоит из 4×4=16 битов. По условию, в этой записи должно содержаться ровно 7 единиц. Остальные 16-7=9 разрядов должны быть нулями.

Важно помнить, что старшая цифра d₃ не может быть равна 0, иначе число перестанет быть четырёхзначным. Значит, в первых четырёх битах (соответствующих d₃) должна быть хотя бы одна единица.

Чтобы получить наименьшее число, нужно:

• Сделать старшую цифру d₃ как можно меньше. Минимально возможное значение для первой цифры — 1. В двоичном виде это 0001. Здесь мы использовали одну единицу.
• Оставшиеся 6 единиц распределить так, чтобы младшие разряды были минимальными. Это значит, что единицы нужно ставить в самые правые (младшие) позиции общего двоичного числа.

Структура двоичной записи будет выглядеть так: сначала идут биты d₃, затем d₂, d₁, d₀.

Мы зафиксировали d₃=1 (биты 0001). У нас осталось 6 единиц, которые нужно разместить в оставшихся 12 позициях (разряды d_2,d_1,d₀), прижимая их к самому концу (к младшим разрядам).

Распределим оставшиеся 6 единиц справа налево:

• d₀: занимаем все 4 бита единицами? Нет, у нас всего 6 единиц. Давайте заполним младшие разряды полностью, пока хватает единиц.
  Если заполнить d₀ полностью (1111₂=F₁₆), потратим 4 единицы. Останется 6-4=2 единицы.
  Затем заполняем d₁. Нам нужно поставить 2 единицы в младшие разряды d₁. То есть d₁ будет иметь вид 0011₂=3₁₆. Потратили ещё 2 единицы. Осталось 0 единиц.
  Тогда d₂ будет состоять из одних нулей: 0000₂=0₁₆.

Проверим количество единиц: d₃=1(0001) — 1 ед. d₂=0(0000) — 0 ед. d₁=3(0011) — 2 ед. d₀=F(1111) — 4 ед. Итого: 1+0+2+4=7 единиц. Условие выполнено.

Полученное число: 103F₁₆.

Чтобы получить наибольшее число, нужно:

• Сделать старшую цифру d₃ как можно больше. Максимальное значение — F (1111₂). Если взять d₃=F, мы используем сразу 4 единицы.
• Оставшиеся 3 единицы (7-4=3) нужно разместить в следующих по значимости разрядах (d_2,d_1,d₀) так, чтобы они давали максимальный вклад. Для этого единицы нужно ставить в самые левые (старшие) позиции доступных групп.

Рассмотрим вариант с d₃=F (1111₂). Осталось 3 единицы.

Разместим их в d₂. Чтобы d₂ было максимальным, ставим единицы в старшие биты этой группы: 1110₂. Это соответствует цифре E₁₆. Мы использовали все 3 оставшиеся единицы.

Тогда d₁ и d₀ будут равны 0 (0000₂).

Проверим количество единиц: d₃=F(1111) — 4 ед. d₂=E(1110) — 3 ед. d₁=0(0000) — 0 ед. d₀=0(0000) — 0 ед. Итого: 4+3+0+0=7 единиц. Условие выполнено.

Полученное число: FE00₁₆.

Альтернативная проверка: Что если d₃ будет меньше F? Например, d₃=7 (0111₂, 3 единицы). Тогда останется 4 единицы для остальных разрядов. Даже если мы поставим F в d₂ (1111₂), а остальные нули, число будет 7F00₁₆. Оно меньше, чем FE00₁₆, так как первая цифра 7<F. Следовательно, максимизация старшей цифры приоритетнее.

Наименьшее число: 103F₁₆. Наибольшее число: FE00₁₆.