10 класс Некоторые сведения из теории множеств § 17. Некоторые сведения из теории множеств

ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 17.4: Некоторые сведения из теории множеств

Информатика — Босова Л.Л., Босова А.Ю.

Дмитрий Орлов, методист по информатике Шпаргача обновлено 12 сентября 2026

← 17.3 17.5 →

Условие

В лагере «Дубки» отдыхали 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. Известно, что 10 человек были и отличниками, и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, а 3 человека совмещали все три категории. Сколько всего ребят отдыхало в лагере?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решение задачи по теории множествШаг 1. Анализ условия и обозначение множествДля решения этой задачи воспользуемся формулой включений-исключений для трёх множеств. Обозначим множества отдыхающих в лагере следующим образом:A — множество отличников;B — множество победителей олимпиад;C — множество спортсменов.Из условия нам известны мощности этих множеств (количество элементов в них) и мощности их пересечений:|A|=30;|B|=28;|C|=42;|A∩B|=10 (отличники и олимпиадники);|A∩C|=5 (отличники и спортсмены);|B∩C|=8 (олимпиадники и спортсмены);|A∩B∩C|=3 (совмещали все три категории).Нам нужно найти мощность объединения всех трёх множеств: |A \cup B \cup C|.Шаг 2. Применение формулы включений-исключенийФормула для нахождения количества элементов в объединении трёх множеств выглядит так:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|Подставим известные числовые значения в эту формулу:|A∪B∪C|=30+28+42-(10+5+8)+3Шаг 3. Вычисление результатаВыполним вычисления пошагово:Сумма мощностей отдельных множеств: 30+28+42=100

Сумма мощностей парных пересечений: 10+5+8=23

Вычитаем сумму парных пересечений из суммы одиночных множеств: 100-23=77

Прибавляем мощность тройного пересечения (так как эти элементы были вычтены слишком много раз): 77+3=80

Таким образом, всего в лагере отдыхало 80 человек.

Шаг 4. Проверка с помощью диаграммы Эйлера (логическая проверка)

Давайте проверим результат, посчитав количество людей, принадлежащих только одной категории или двум категориям, но не всем трём сразу.

Только отличники и олимпиадники (без спортсменов): |A∩B|-|A∩B∩C|=10-3=7.
Только отличники и спортсмены (без олимпиадников): |A∩C|-|A∩B∩C|=5-3=2.
Только олимпиадники и спортсмены (без отличников): |B∩C|-|A∩B∩C|=8-3=5.
Только отличники: |A|-(7+2+3)=30-12=18.
Только олимпиадники: |B|-(7+5+3)=28-15=13.
Только спортсмены: |C|-(2+5+3)=42-10=32.

Сложим все непересекающиеся группы:

18+13+32+7+2+5+3=80

Результат совпадает с предыдущим вычислением. Ответ верен.

Ответ

Задача решается стандартной формулой включений-исключений для трёх множеств. Важно правильно интерпретировать данные: числа 10, 5, 8 относятся к пересечениям двух множеств, включая тех, кто входит в пересечение всех трёх. Поэтому при вычитании сумм парных пересечений мы дважды вычитаем тройное пересечение, и его нужно прибавить один раз обратно.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 17.4 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Информатика», Босова Л.Л., Босова А.Ю.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 17.4?

Краткий ответ: 80.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Информатика», Босова Л.Л., Босова А.Ю.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 17. Некоторые сведения из теории множеств.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.