ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 18.3: Алгебра логики

Проанализируем каждое из данных утверждений с точки зрения логики и фактов:

• A = «Река Днепр впадает в Чёрное море» . Это географический факт. Река Днепр действительно впадает в Чёрное море. Следовательно, A — истина (1).
• B = «45 — простое число» . Простое число делится только на 1 и на само себя. Число 45 делится на 3, 5, 9, 15. Значит, оно составное. Следовательно, B — ложь (0).
• C = «Вена — столица Австрии» . Это политико-географический факт. Вена является столицей Австрии. Следовательно, C — истина (1).
• D = «0 — натуральное число» . Натуральные числа — это числа, используемые при счёте предметов: 1,2,3,…. Ноль не является натуральным числом (в стандартной школьной программе). Следовательно, D — ложь (0).

Итак, имеем набор значений: A=1,B=0,C=1,D=0.

Нам нужно составить сложные высказывания, применяя к парам или одиночным переменным пять логических операций: отрицание (¬), конъюнкция (&), дизъюнкция (lor), импликация (→), эквиваленция (↔).

Обычно под «составить сложные высказывания» подразумевается построение всех возможных комбинаций для данной операции над имеющимися переменными. Однако формулировка «применяя к A,B,C,D по одной из пяти логических операций» может трактоваться двояко: либо как создание одного примера на каждую операцию, либо как полный перебор. Учитывая требование «Подсчитать количество новых высказываний для каждой операции», наиболее логичным является подсчёт всех уникальных выражений, которые можно составить, используя эти операции над данными четырьмя переменными.

Но давайте посмотрим на контекст школьной задачи. Часто имеется в виду следующее: мы берём все возможные пары различных высказываний (или самих высказываний для унарной операции) и применяем к ним операцию.

1. Отрицание (¬)

Отрицание — унарная операция. Мы можем применить её к каждому из четырёх высказываний.

• ¬A
• ¬B
• ¬C
• ¬D

Количество высказываний с операцией отрицания: 4 .

2. Конъюнкция (&), Дизъюнкция (lor), Импликация (→), Эквиваленция (↔)

Это бинарные операции. Они требуют двух аргументов. У нас есть 4 различных элементарных высказывания. Количество способов выбрать два различных высказывания из четырёх без учёта порядка (для коммутативных операций &,lor,↔) или с учётом порядка (для некоммутиативной →)?

В задачах такого типа обычно рассматриваются все упорядоченные пары (X,Y), где X≠Y, так как даже для коммутативных операций запись A&B и B&A формально разные строки, но логически эквивалентны. Однако, если считать «новыми высказываниями» именно синтаксические конструкции, то нужно уточнить методологию.

Давайте последуем стандартному подходу для таких задач: считаем все возможные комбинации двух разных переменных. Всего пар из 4 элементов: 4×3=12 упорядоченных пар.

Для каждой из 4 бинарных операций мы можем составить 12 высказываний (например, A&B,A&C,…,D&C).

• Конъюнкция: 12 высказываний.
• Дизъюнкция: 12 высказываний.
• Импликация: 12 высказываний.
• Эквиваленция: 12 высказываний.

Всего бинарных высказываний: 12+12+12+12=48.

Плюс 4 унарных (отрицания).

Общее количество новых высказываний: 48+4=52.

Примечание: Если бы требовалось просто привести по одному примеру, ответ был бы тривиальным. Но фраза «подсчитать количество» намекает на комбинаторный подсчёт. Также возможно, что имеются в виду только сочетания без повторений и без учёта порядка для коммутативных операций. Тогда для &,lor,↔ количество пар равно C24=6. Для → порядок важен, поэтому 12. Итого бинарных: 6+6+12+6=30. Плюс 4 отрицания = 34.

Однако, чаще всего в таких учебных задачах подразумевается полный перебор всех возможных записей вида XopY, где X,Y∈{A,B,C,D},X≠Y. Будем исходить из этого предположения, так как оно более строго математически для понятия «высказывание» как формулы.

Давайте пересчитаем количество истинных среди них.

Значения: A=1,B=0,C=1,D=0.

Анализ истинности отрицаний (¬):

• ¬A=¬1=0 (Ложь)
• ¬B=¬0=1 (Истина)
• ¬C=¬1=0 (Ложь)
• ¬D=¬0=1 (Истина)

Истинных отрицаний: 2 .

Анализ бинарных операций:

У нас есть 12 упорядоченных пар (X,Y), где X≠Y. Разобьём их по типам значений аргументов:

• Тип 1,1: Пары (A,C) и (C,A). Всего 2 пары.
• Тип 0,0: Пары (B,D) и (D,B). Всего 2 пары.
• Тип 1,0: Пары (A,B),(A,D),(C,B),(C,D). Всего 4 пары.
• Тип 0,1: Пары (B,A),(B,C),(D,A),(D,C). Всего 4 пары.

Теперь применим таблицы истинности для каждой операции к этим группам.

Истина только если оба аргумента истины (1&1=1).

• Группа 1,1 (2 пары): 1&1=1. Истинных: 2.
• Группа 0,0 (2 пары): 0&0=0. Истинных: 0.
• Группа 1,0 (4 пары): 1&0=0. Истинных: 0.
• Группа 0,1 (4 пары): 0&1=0. Истинных: 0.

Всего истинных конъюнкций: 2 .

Ложь только если оба аргумента ложны (0lor0=0). Во всех остальных случаях истина.

• Группа 1,1 (2 пары): 1lor1=1. Истинных: 2.
• Группа 0,0 (2 пары): 0lor0=0. Истинных: 0.
• Группа 1,0 (4 пары): 1lor0=1. Истинных: 4.
• Группа 0,1 (4 пары): 0lor1=1. Истинных: 4.

Всего истинных дизъюнкций: 2+0+4+4=10.

Ложь только если посылка истинна, а следствие ложно (1→0=0). Остальные случаи истина.

• Группа 1,1 (2 пары): 1→1=1. Истинных: 2.
• Группа 0,0 (2 пары): 0→0=1. Истинных: 2.
• Группа 1,0 (4 пары): 1→0=0. Истинных: 0.
• Группа 0,1 (4 пары): 0→1=1. Истинных: 4.

Всего истинных импликаций: 2+2+0+4=8.

Истина, если значения совпадают (1↔1=1, 0↔0=1). Ложь, если различаются.

• Группа 1,1 (2 пары): 1↔1=1. Истинных: 2.
• Группа 0,0 (2 пары): 0↔0=1. Истинных: 2.
• Группа 1,0 (4 пары): 1↔0=0. Истинных: 0.
• Группа 0,1 (4 пары): 0↔1=0. Истинных: 0.

Всего истинных эквиваленций: 2+2+0+0=4.

Соберём данные в таблицу для наглядности.

Проверка суммы истинных: 2+2+10+8+4=26.

Таким образом, общее количество новых высказываний равно 52, из них истинных — 26.