ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 20.3: Синтез логических выражений
Информатика (в 2 частях); углубленное обучение — Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Павел Лебедев, методист по информатике Шпаргача обновлено 12 сентября 2026
Условие
Используя дополнительные источники, выяснить, как перейти от ДНФ к КНФ, используя законы де Моргана. Продемонстрировать этот метод на примере выражения X=A·B+A·B. Назвать эту логическую операцию.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данном задании требуется показать метод перехода от дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ) к конъюнктивной нормальной форме (КНФ) с помощью законов де Моргана на конкретном примере. Также необходимо определить название логической операции, которую реализует данное выражение.
Шаг 1. Теоретическая основа: законы де Моргана и двойственность
Законы де Моргана связывают операции конъюнкции (· или И) и дизъюнкции (+ или ИЛИ) через операцию отрицания (A или НЕ). Они записываются так:
- A·B=A+B
- A+B=A·B
Чтобы перейти от ДНФ к КНФ, можно воспользоваться свойством двойственности. Если взять отрицание всего выражения в ДНФ, то по закону де Моргана конъюнкции превратятся в дизъюнкции, а дизъюнкции — в конъюнкции. Затем, взяв отрицание полученного результата, мы вернемся к исходному значению, но уже в форме КНФ (произведение сумм).
Алгоритм перехода:
- Записать исходное выражение X.
- Найти X, применив законы де Моргана ко всему выражению и его частям.
- Найти X, что равно X. В результате получится произведение скобок (КНФ).
Шаг 2. Применение метода к выражению X=A·B+A·B
Исходное выражение является ДНФ, так как это сумма (дизъюнкция) двух произведений (конъюнкций): A·B и A·B.
1. Найдем отрицание выражения X:
X=(A·B+A·B)Применим закон де Моргана для суммы (P+Q), где P=A·B, а Q=A·B:
X=(A·B)·(A·B)Теперь применим закон де Моргана для каждого произведения отдельно:
- A·B=A+B=A+B
- A·B=A+B=A+B
Подставим полученные результаты обратно в выражение для X:
X=(A+B)·(A+B)Заметим, что мы получили КНФ для отрицания исходной функции.
2. Вернемся к X, взяв отрицание от X:
X=X=(A+B)·(A+B)Применим закон де Моргана для произведения:
X=(A+B)+(A+B)Раскроем отрицания внутри скобок:
- A+B=A·B=A·B
- A+B=A·B=A·B
Получаем:
X=A·B+A·BМы вернулись к исходной ДНФ. Это означает, что прямое применение двойственного преобразования к данной конкретной функции привело к симметричному результату. Однако, чтобы получить другую форму записи той же функции (КНФ), нужно использовать табличный метод или алгебраические преобразования, дополняющие до единицы.
Давайте найдем КНФ напрямую, используя правило: если функция равна 0 на наборах переменных, то эти наборы формируют сомножители КНФ.
| A | B | X |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Функция обращается в 0 при (A=0,B=0) и (A=1,B=1). Для набора (0,0) соответствующий сомножитель КНФ: (A+B). Для набора (1,1) соответствующий сомножитель КНФ: (A+B). Таким образом, КНФ имеет вид:
X=(A+B)·(A+B)Проверим переходом от ДНФ к этой КНФ через дополнение: X=AB+AB. Добавим и вычтем лишние члены или используем тождество Y=Y+ZZ? Нет, проще проверить раскрытием скобок:
(A+B)(A+B)=AA+AB+BA+BB =0+AB+AB+0=AB+ABРавенство подтверждено. Таким образом, КНФ данного выражения: (A+B)·(A+B).
Шаг 3. Определение логической операции
Выражение X=A·B+A·B истинно только тогда, когда значения переменных A и B различны (одна истина, другая ложь). Если A=B, то X=0. Если A≠B, то X=1.
Эта операция называется строгая дизъюнкция или исключающее ИЛИ (по-английски XOR).
Обозначается обычно как A⊕B.
КНФ: X=(A+B)·(A+B)
Операция: Исключающее ИЛИ (строгая дизъюнкция)
В условии просили продемонстрировать переход от ДНФ к КНФ через законы де Моргана. Строго говоря, прямой переход через двойственное отрицание (X) возвращает нас к ДНФ, если не использовать дополнительные аксиомы булевой алгебры для упрощения промежуточных шагов. Наиболее корректный способ найти КНФ из ДНФ — это либо построение таблицы истинности и запись нулевых наборов, либо использование тождества X=X, где X сначала приводится к ДНФ, а затем снова берется отрицание. В решении показан оба аспекта: формальный вывод через отрицание и проверка через таблицу истинности/раскрытие скобок.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 20.3 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 20.3?
Краткий ответ: КНФ: X = (A + B) · ( A + B) Операция: Исключающее ИЛИ (строгая дизъюнкция).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 20. Синтез логических выражений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.