ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.222: Обыкновенные дроби

План решения.

Чтобы представить число в виде суммы его половин, четвертей, восьмых и шестнадцатых, нужно разложить это число на слагаемые, каждое из которых является долей от исходного числа. То есть мы ищем такие коэффициенты a,b,c,d, что:

Однако более простой подход, основанный на двоичной системе счисления или последовательном делении: представим число как сумму степеней двойки, умноженных на соответствующие доли самого числа. Или проще: выразим каждую долю через само число. Например, половина числа — это 1/2N. Если мы хотим записать N как сумму таких частей, нам нужно понять, сколько «половин», «четвертей» и т.д. содержится в целом числе. Давайте посмотрим на пример (образец обычно подразумевает разложение по двоичному принципу). Любое натуральное число можно представить в виде суммы различных степеней двойки. Но здесь просят представить само число как сумму его долей . Это значит, что мы должны найти целые коэффициенты при дробях 1/2,1/4,1/8,1/16 от этого числа. Заметим, что: 1/2+1/4+1/8+1/16=8+4+2+1/16=15/16 Это не равно 1. Значит, просто взяв по одной доле каждого вида, мы получим только 15/16 числа. Чтобы получить полное число N, нам нужно использовать несколько копий этих долей. Рассмотрим число 32. Его половины: 32/2=16. Его четверти: 32/4=8. Его восьмые: 32/8=4. Его шестнадцатые: 32/16=2. Нам нужно составить сумму 32 из чисел 16,8,4,2. Это классическая задача на представление числа суммой степеней двойки (или их кратных). 32=16+16. Но у нас есть только одна «половина» (число 16), если брать её один раз. Однако условие говорит «в виде суммы их половин...». Обычно это означает использование нескольких экземпляров этих долей. Давайте попробуем другой подход, который часто используется в таких задачах 5 класса: разложение числа на слагаемые, которые являются долями этого числа. Для числа 32: 32=16+8+4+2+2? Нет, 2 — это шестнадцатая доля (32/16=2). У нас есть две шестнадцатые доли. Или так: 32=16+8+4+2+1+1? 1 — это тридцать вторая доля, её нет в списке. Перечитаем внимательно: «суммы их половин, четвертей, восьмых и шестнадцатых». Это значит, что мы можем брать эти доли несколько раз. Разбор для числа 32: Доли числа 32: Половина: 16 Четверть: 8 Восьмая: 4 Шестнадцатая: 2 Нужно набрать сумму 32. 32=16+8+4+2+2. Здесь использованы: одна половина (16), одна четверть (8), одна восьмая (4) и две шестнадцатые (2+2). Запись: 32=1/2·32+1/4·32+1/8·32+2·1/16·32. Или проще в числах: 32=16+8+4+2+2. Но есть ли более «красивое» решение, где каждая доля берется ровно один раз? Нет, сумма 16+8+4+2=30, не хватает 2. А 2 — это ещё одна шестнадцатая доля. Разбор для числа 176: Доли числа 176: Половина: 176/2=88 Четверть: 176/4=44 Восьмая: 176/8=22 Шестнадцатая: 176/16=11 Сумма всех уникальных долей: 88+44+22+11=165. Не хватает до 176: 176-165=11. 11 — это как раз одна шестнадцатая доля. Значит, берём одну половину, одну четверть, одну восьмую и две шестнадцатые. 176=88+44+22+11+11. Разбор для числа 10 000: Доли числа 10 000: Половина: 5000 Четверть: 2500 Восьмая: 1250 Шестнадцатая: 625 Сумма уникальных долей: 5000+2500+1250+625=9375. Не хватает до 10 000: 10000-9375=625. 625 — это как раз одна шестнадцатая доля. Значит, берём одну половину, одну четверть, одну восьмую и две шестнадцатые. 10000=5000+2500+1250+625+625.

Вычисление и оформление ответа.

Мы нашли закономерность: для любого числа, которое делится на 16, сумма его единичных половин, четвертей, восьмых и шестнадцатых равна 15/16 от числа. Недостающие 1/16 добавляются второй шестнадцатой долей.

1. Число 32:
   • Половина: 32:2=16
   • Четверть: 32:4=8
   • Восьмая: 32:8=4
   • Шестнадцатая: 32:16=2
   • Сумма: 16+8+4+2+2=32
   Ответ: 32=16+8+4+2+2 (одна половина, одна четверть, одна восьмая, две шестнадцатые).
2. Число 176:
   • Половина: 176:2=88
   • Четверть: 176:4=44
   • Восьмая: 176:8=22
   • Шестнадцатая: 176:16=11
   • Сумма: 88+44+22+11+11=176
   Ответ: 176=88+44+22+11+11 (одна половина, одна четверть, одна восьмая, две шестнадцатые).
3. Число 10 000:
   • Половина: 10000:2=5000
   • Четверть: 10000:4=2500
   • Восьмая: 10000:8=1250
   • Шестнадцатая: 10000:16=625
   • Сумма: 5000+2500+1250+625+625=10000
   Ответ: 10000=5000+2500+1250+625+625 (одна половина, одна четверть, одна восьмая, две шестнадцатые).

Проверка.

Подставим полученные слагаемые обратно в сумму для каждого случая.

• 16+8+4+2+2=24+4+4=32. Верно.
• 88+44+22+11+11=132+22+22=154+22=176. Верно.
• 5000+2500+1250+625+625=7500+1250+1250=8750+1250=10000. Верно.