ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.310: Обыкновенные дроби

План решения:

Для объяснения равенства дробей будем использовать циферблат часов. Вспомним основные соотношения времени: один час содержит 60 минут и 12 часовых делений (цифр). Каждая минута соответствует одному маленькому делению на циферблате, а каждый час — большому промежутку между цифрами. Мы будем переводить части часа в минуты или часы, чтобы показать, что разные дроби обозначают одно и то же количество времени.

Вычисление и обоснование по пунктам:

• а) Дробь 1/6 означает шестую часть часа. Так как в часе 60 минут, то 1/6 часа равна 60:6=10 минутам. На циферблате 10 минут занимают 10 маленьких делений из 60, что записывается как 10/60. Также можно рассмотреть часовые деления: 10 минут составляют половину от 20 минут? Нет, проще через умножение числителя и знаменателя. 1/6=1·2/6·2=2/12. Это значит, что 1/6 часа равна двум двенадцатым частям часа (или двум часовым интервалам, если масштабировать иначе, но логичнее через минуты). Проверим через минуты: 2/12 часа это 1/6 часа, то есть 10 минут. А 10/60 часа это тоже 10 минут. Следовательно, 1/6=2/12=10/60.
• б) Дробь 1/2 означает половину часа. Половина часа равна 30 минутам. Запишем это как дробь от всего часа: 30/60. Теперь посмотрим на часовые деления. Весь круг — это 12 часов. Половина круга — это 6 часовых делений (от 12 до 6). Значит, 1/2 часа равна 6/12 части полного оборота стрелки (если считать в часах) или просто сокращаем 6/12 до 1/2. Таким образом, 1/2=6/12=30/60, так как все они представляют собой 30 минут.
• в) Дробь 5/6 означает пять шестых частей часа. Найдем, сколько это минут: 5/6·60=5·10=50 минут. Запишем 50 минут как дробь от часа: 50/60. Теперь проверим среднюю дробь 10/12. Если мы умножим числитель и знаменатель дроби 5/6 на 2, получим 10/12. Геометрически на циферблате это можно представить как переход от шестых частей к двенадцатым. Пять шестых равны десяти двенадцатым. И 50/60 после сокращения на 10 дает 5/6. Все три дроби равны 5/6.
• г) Дробь 1/3 означает третью часть часа. Треть часа равна 60:3=20 минут. Запишем это как 20/60. Теперь рассмотрим дробь 4/12. Умножим числитель и знаменатель дроби 1/3 на 4: 1·4/3·4=4/12. На циферблате треть круга (1/3) занимает 4 больших деления (так как 12:3=4). То есть 1/3 часа соответствует 4 часовым отметкам из 12, что записывается как 4/12. И 20/60 минут также равны 1/3 часа. Следовательно, 1/3=4/12=20/60.

Проверка:

Мы использовали основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то дробь не изменится. - Для пункта а): 1/6=1·2/6·2=2/12; 1/6=1·10/6·10=10/60. Верно. - Для пункта б): 1/2=1·6/2·6=6/12; 1/2=1·30/2·30=30/60. Верно. - Для пункта в): 5/6=5·2/6·2=10/12; 5/6=5·10/6·10=50/60. Верно. - Для пункта г): 1/3=1·4/3·4=4/12; 1/3=1·20/3·20=20/60. Верно. Все равенства подтверждены как алгебраически, так и смысловой привязкой к минутам на циферблате.