ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.347: Обыкновенные дроби

План решения:

Чтобы найти неизвестную букву в равенстве дробей, нужно использовать основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножать или делить на одно и то же число (отличное от нуля). Мы будем сравнивать известные части дробей, чтобы понять, во сколько раз изменился один из элементов, и применить это изменение к другому.

Вычисление по пунктам:

• а) 5/9=n/27. Знаменатель первой дроби равен 9, а второй — 27. Так как 27:9=3, значит, знаменатель увеличили в 3 раза. Чтобы равенство осталось верным, числитель тоже нужно увеличить в 3 раза: n=5·3=15.
• б) 1/3=7/c. Числитель первой дроби равен 1, а второй — 7. Значит, числитель увеличили в 7 раз (7:1=7). Тогда и знаменатель нужно увеличить в 7 раз: c=3·7=21.
• в) r/5=5/z. Здесь две неизвестные буквы. Обычно в таких задачах подразумевается, что дроби равны простейшим образом или есть дополнительная связь. Однако, если смотреть строго на условие «замените буквы цифрами», то решений бесконечно много (например, r=1,z=5; r=2,z=10 и т.д.). Но чаще всего в учебниках для 5 класса при такой записи подразумевается симметрия или конкретный пример сокращения/расширения. Давайте проверим вариант, где дроби равны 1: тогда r=5,z=5. Или вариант, где одна дробь получена из другой расширением. Если предположить, что это частный случай задачи на пропорцию с целыми минимальными числами, часто имеется в виду равенство r/5=5/z через перекрестное умножение rz=25. Целочисленные решения: (1,25),(5,5),(25,1). Наиболее «стандартным» ответом для начальной школы, где не требуется перебирать все варианты, часто является случай, когда дроби равны между собой и имеют одинаковые значения, либо это опечатка в условии и должно быть, например, r/5=4/20 или подобное. Примечание: В классических решебниках к этому номеру иногда подразумевается, что r и z связаны так, что дробь r/5 равна 5/z. Без дополнительных ограничений задача имеет несколько ответов. Возьмем самый простой вариант, где числа совпадают: r=5,z=5 (тогда 5/5=1 и 5/5=1). Другой возможный интерпретацией может быть ошибка в условии, и имелось в виду r/5=?/?. Но давайте посмотрим пункт г).
• г) m/12=5/c. Аналогично пункту в, здесь две неизвестные. Уравнение: mc=60. Возможные пары натуральных чисел: (1,60),(2,30),(3,20),(4,15),(5,12),(6,10) и обратно. В школьной практике, если нет указания «найдите все решения», часто берут решение, где одна из букв уже известна из контекста предыдущих пунктов или это опечатка. Однако, если внимательно посмотреть на структуру задач а) и б), там была одна неизвестная. В в) и г) их две. Вероятнее всего, в оригинальном учебнике в пункте в) было r/5=4/20 (где r=1) или похожее, а в г) m/12=5/60 (где m=1) или 5/12=m/c.
  Давайте пересмотрим типичные ошибки OCR или условия. Часто бывает r/5=3/15 -> r=1. Или m/12=2/8 -> m=3.
  Если мы должны дать единственный ответ, возможно, подразумевается, что дроби равны 1? Нет.
  Попробуем найти наиболее вероятный «ученический» ответ. В пункте в) r/5=5/z. Если это расширение дроби 1/5 до 5/25, то r=1,z=25. Если это сокращение 5/5 до 1/1, то r=5,z=5.
  В пункте г) m/12=5/c. Если это расширение 1/12 до 5/60, то m=1,c=60. Если это расширение 5/12 до 10/24... нет, числитель фиксирован как 5 справа.
  Скорее всего, в условии пропущены цифры. Например, в в) могло быть r/5=4/20, тогда r=1. В г) могло быть m/12=3/36, тогда m=1.
  Но так как мы обязаны решить по данному тексту, укажем набор возможных простых решений или отметим неоднозначность. Однако, формат требует ответа. Посмотрим на ключевые слова «Замените буквы цифрами». Это задание на понимание пропорциональности. Для пункта в) самым простым решением, сохраняющим структуру «одинаковых чисел», является r=5,z=5. Для пункта г) сложно выбрать одну пару.
  Давайте предположим, что в пункте в) имелась в виду дробь r/5=1/5? Нет, справа 5/z.
  Часто в таких задачах скрывается равенство a/b=c/d, где a,b,c,d - цифры.
  Для пункта в): r·z=25. Ответы: r=1,z=25; r=5,z=5; r=25,z=1.
  Для пункта г): m·c=60. Ответов много.
  Корректировка: Возможно, в условии опечатка и в в) должно быть r/5=3/15 (тогда r=1), а в г) m/12=2/8 (тогда m=3)? Без этого данные недостаточны для единственного ответа. Но я должен дать решение. Я выберу наиболее тривиальные случаи расширения дроби 1/x или сокращения.
  Для в) возьмем r=1,z=25 (так как 1/5=5/25).
  Для г) возьмем m=1,c=60 (так как 1/12=5/60).
  Это логично: слева стоит «единица» в числителе после приведения к общему знаменателю или просто самая простая дробь.

Проверка:

а) 5/9=15/27. Сократим правую часть на 3: 15:3/27:3=5/9. Верно.
б) 1/3=7/21. Сократим правую часть на 7: 7:7/21:7=1/3. Верно.
в) 1/5=5/25. Сократим правую часть на 5: 5:5/25:5=1/5. Верно.
г) 1/12=5/60. Сократим правую часть на 5: 5:5/60:5=1/12. Верно.