ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.476: Обыкновенные дроби
Математика: 5-й класс: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 3-е издание, переработанное — Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Дмитрий Орлов, редактор математических решений Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Проверить равенства вида 1/(n(n+2)) = 1/2 * (1/n - 1/(n+2)) на примерах с n=3, 5, 7 и доказать сумму ряда: 1/3*1/5 + 1/5*1/7 + ... + 1/13*1/15 = 2/15.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Проверим тождество 1/n(n+2)=1/2(1/n-1/n+2) для заданных значений n=3, n=5 и n=7.
- Используя доказанное свойство, преобразуем каждое слагаемое в сумме ряда 1/3·5+1/5·7+…+1/13·15.
- Вычислим итоговую сумму, используя метод телескопического сокращения.
Вычисления:
1. Проверка равенства для конкретных чисел:
- При n=3: Левая часть 1/3·5=1/15. Правая часть 1/2(1/3-1/5)=1/2(5-3/15)=1/2·2/15=1/15. Равенство верно.
- При n=5: Левая часть 1/5·7=1/35. Правая часть 1/2(1/5-1/7)=1/2(7-5/35)=1/2·2/35=1/35. Равенство верно.
- При n=7: Левая часть 1/7·9=1/63. Правая часть 1/2(1/7-1/9)=1/2(9-7/63)=1/2·2/63=1/63. Равенство верно.
2. Доказательство суммы ряда:
Запишем исходную сумму, применив формулу разложения к каждому слагаемому:
S=1/3·5+1/5·7+1/7·9+1/9·11+1/11·13+1/13·15 S=1/2(1/3-1/5)+1/2(1/5-1/7)+1/2(1/7-1/9)+1/2(1/9-1/11)+1/2(1/11-1/13)+1/2(1/13-1/15)Вынесем общий множитель 1/2 за скобки:
S=1/2(1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+1/11-1/13+1/13-1/15)Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (сокращаются):
S=1/2(1/3-1/15)Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 15:
S=1/2(5/15-1/15)=1/2·4/15 S=4/30=2/15Проверка:
Результат совпадает с требуемым значением 2/15. Логика телескопической суммы подтверждена: остались только первое (1/3) и последнее (-1/15) слагаемые внутри скобок после вынесения 1/2.
Равенства верны; сумма равна 2/15.
В условии требуется проверить равенство на примерах и доказать сумму конкретного ряда. В решении последовательно выполнены обе части задания. Для проверки взяты значения n=3, 5, 7. Для доказательства суммы использовано свойство расщепления дробей, что привело к телескопическому ряду.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 5.476 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: 5-й класс: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 3-е издание, переработанное», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 5.476?
Краткий ответ: Равенства верны; сумма равна 215.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: 5-й класс: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 3-е издание, переработанное», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Обыкновенные дроби.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.