ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.479: Обыкновенные дроби

План решения:

В условии требуется представить дробь 3/4 в виде разности или суммы двух дробей. Фраза «со знаменателями 4, 16 и 20» (и аналогично для пункта б) означает, что нужно выбрать два знаменателя из предложенного списка так, чтобы результат вычислений равнялся исходной дроби. Мы будем перебирать возможные пары знаменателей, приводить их к общему виду и проверять равенство.

Выполнение пункта а):

Нужно найти две дроби со знаменателями из множества {4,16,20}, разность которых равна 3/4. Попробуем использовать знаменатели 4 и 16. Пусть первая дробь имеет знаменатель 4, а вторая — 16. Запишем уравнение: x/4-y/16=3/4 Приведем левую часть к общему знаменателю 16: 4x/16-y/16=3/4 4x-y/16=3/4 Умножим обе части на 16: 4x-y=3/4·16 4x-y=12 Нам нужно подобрать натуральные числа x и y, удовлетворяющие этому уравнению. Если взять x=4, то 16-y=12⇒y=4. Тогда дроби будут 4/4 и 4/16. Проверим: 4/4-4/16=1-1/4=3/4. Это верное решение. Также можно рассмотреть пару знаменателей 4 и 20. Уравнение: x/4-y/20=3/4. ООЗ 20: 5x-y/20=15/20⇒5x-y=15. При x=4,y=5: 4/4-5/20=1-1/4=3/4. Это тоже верное решение. Выберем первое найденное решение с более простыми числами в числителях после сокращения или стандартным подходом. Часто в таких задачах подразумевается использование одного из знаменателей как основного. Возьмем вариант с 4 и 16: 4/4-4/16 не совсем корректен по смыслу «представить дробь», обычно числители меньше знаменателей или это правильные дроби. Давайте попробуем другой подход: представим 3/4 как 12/16. Нам нужна разность. Например, 16/16-4/16=12/16=3/4. Здесь знаменатели 16 и 16, но в списке только один 16. Значит, нужно разные. Вернемся к 4/4-4/16. Дроби 4/4 и 4/16 имеют знаменатели 4 и 16. Разность равна 3/4. Это подходит под условие «разности двух дробей со знаменателями...». Еще вариант: 5/4-8/16=5/4-1/2=5-2/4=3/4. Знаменатели 4 и 16. Числители 5 и 8. Это тоже верно. Самый простой вариант без неправильных дробей в промежуточных шагах может быть таким: 3/4=12/16. Нужно получить 12/16 как разность. 16/16-4/16 (знаменатели 16 и 16 - не подходит). 20/16-8/16=12/16. Знаменатели 16 и 16. Попробуем знаменатели 4 и 20. 3/4=15/20. Разность: 20/20-5/20=15/20. Знаменатели 20 и 20. Давайте используем смешанный подход. 3/4=4/4-1/4. Знаменатели 4 и 4. Рассмотрим внимательно формулировку. Возможно, имеется в виду, что один из знаменателей должен быть из списка? Нет, «со знаменателями 4, 16 и 20» обычно означает набор доступных знаменателей. Возьмем решение: 4/4-4/16. Первая дробь со знаменателем 4, вторая со знаменателем 16. Оба числа есть в списке. Результат 3/4. Другое возможное решение: 5/4-8/16. Знаменатели 4 и 16. Или 7/4-16/16? Нет. Попробуем найти решение, где дроби правильные. 3/4=12/16. 12/16=16/16-4/16 (не подходит по уникальности знаменателей из списка, если требуются разные). Если допустить, что можно использовать один знаменатель дважды, то 16/16-4/16 не проходит, так как знаменатели одинаковые. Но 4/4-4/16 использует разные знаменатели из списка {4, 16}. Это валидно. Ответ для а): 4/4-4/16 или упрощенно 1-1/4, но в форме дробей с указанными знаменателями лучше оставить 4/4-4/16. Также возможен вариант с 20: 5/4-8/20? 25/20-8/20=17/20≠15/20. Не подходит. 4/4-5/20=1-1/4=3/4. Знаменатели 4 и 20. Оба в списке. Это хорошее решение. Выберем решение с 4 и 16: 4/4-4/16. Или с 4 и 20: 4/4-5/20. Оба верны. Приведем одно. 4/4-4/16=1-1/4=3/4 Знаменатели 4 и 16 входят в список {4, 16, 20}.

Выполнение пункта б):

Нужно представить 3/4 в виде суммы двух дробей со знаменателями из множества {4,12,28}. Попробуем использовать знаменатели 4 и 12. x/4+y/12=3/4 Приведем к общему знаменателю 12: 3x/12+y/12=9/12 3x+y=9 Подберем натуральные числа x и y. Если x=2, то 6+y=9⇒y=3. Тогда дроби: 2/4 и 3/12. Знаменатели 4 и 12 есть в списке. Проверка: 2/4+3/12=1/2+1/4=2/4+1/4=3/4. Верно. Можно ли использовать 28? x/4+y/28=3/4. ООЗ 28. 7x+y/28=21/28⇒7x+y=21. При x=2,y=7. Дроби 2/4 и 7/28. Знаменатели 4 и 28 в списке. Тоже верно. Возьмем первый вариант с 4 и 12, так как числа меньше. 2/4+3/12=3/4

Проверка:

• Для пункта а): 4/4-4/16=1-0.25=0.75=3/4. Знаменатели 4 и 16 присутствуют в заданном наборе.
• Для пункта б): 2/4+3/12=6/12+3/12=9/12=3/4. Знаменатели 4 и 12 присутствуют в заданном наборе.