ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 6.149: Десятичные дроби

План решения:

Чтобы определить, может ли конь попасть из клетки a1 в клетку h8, нужно проанализировать цвета клеток на шахматной доске. Конь всегда перемещается с белой клетки на черную и наоборот (или с черной на белую). Это означает, что после каждого хода цвет клетки меняется.

Вычисление и логика:

• Определим цвет начальной клетки a1. В стандартной шахматной нотации клетка a1 является черной .
• Определим цвет конечной клетки h8. Клетка h8 также является черной .
• Рассмотрим количество ходов:
  • После 1-го хода конь окажется на белой клетке.
  • После 2-го хода — снова на черной.
  • После нечетного числа ходов конь будет на белой клетке.
  • После четного числа ходов конь будет на черной клетке.
• Так как начальная (a1) и конечная (h8) клетки имеют один и тот же цвет (черный), то для перехода между ними коню требуется сделать четное количество ходов.
• Проверим возможность такого маршрута. Минимальное расстояние по горизонтали составляет 7 клеток (h-a=8-1=7), а по вертикали также 7 клеток (8-1=7). Каждый ход коня изменяет координату x на 1/3 или 2/3 от общего смещения? Нет, проще использовать инвариант суммы координат.
  Обозначим координаты клетки (x,y), где x — буква (a=1...h=8), y — цифра.
  Сумма координат для a1: 1+1=2 (четное).
  Сумма координат для h8: 8+8=16 (четное).
  Ход коня меняет одну координату на 1, другую на 2. Изменение суммы координат: |±1±2| или |±2±1|. В любом случае сумма координат меняется на нечетное число (1+2=3 или 2-1=1). Значит, четность суммы координат меняется с каждого хода.
  Если мы начинаем с четной суммы (клетка a1), то после 1 хода сумма станет нечетной, после 2 — четной, ..., после k ходов четность совпадает с четностью k.
  Нам нужно попасть на клетку h8 с четной суммой координат. Значит, количество ходов должно быть четным.
  Однако есть более строгий критерий достижимости. На бесконечной доске конь может попасть из любой клетки в любую другую за конечное число ходов. Но давайте проверим конкретные ограничения.
  Известно, что конь может попасть из a1 в h8. Например, маршрут: a1→b3→c5→e6→g7→h5→f4… это сложно.
  Давайте посмотрим на классический результат: конь может попасть из угла в противоположный угол только за четное число ходов. Но возможно ли это вообще? Да. Один из возможных путей (не минимальный, но доказывающий существование): a1→b3→d4→f5→g7→h5→f6→e8… нет, так далеко.
  Попробуем найти путь короче или доказать невозможность другим способом.
  Важный факт: на стандартной доске 8×8 конь может попасть из a1 в h8. Количество ходов при этом будет четным. Например, можно пройти за 6 ходов? a1→b3→c5→e6→g7→h5→f6… не туда.
  Попробуем за 6 ходов: 1. a1→b3 2. b3→c5 3. c5→e6 4. e6→g7 5. g7→h5 6. h5→f6 (не h8)
  Попробуем другой путь: 1. a1→c2 2. c2→e3 3. e3→g4 4. g4→h6 5. h6→f7 6. f7→h8 — Успех!
  Маршрут существует: a1→c2→e3→g4→h6→f7→h8. Всего 6 ходов (четное число).

Проверка:

Мы нашли конкретный маршрут из 6 ходов, который приводит коня из клетки a1 в клетку h8. Начальная и конечная клетки одного цвета, что требует четного количества ходов, и такой маршрут был построен. Следовательно, ответ положительный.