ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 6.298: Десятичные дроби

План решения:

Чтобы найти время встречи двух пловцов, движущихся навстречу друг другу, необходимо знать расстояние между ними и их общую скорость сближения. Общая скорость сближения равна сумме скоростей каждого пловца относительно берега (или воды). Нам дано расстояние 13,6 км. Нужно определить скорость первого пловца относительно берега и скорость второго пловца относительно берега.

Вычисление:

1. Найдем собственную скорость первого пловца. Известно, что его скорость по течению равна 3,6 км/ч, а скорость течения — 2,4 км/ч. Собственная скорость = Скорость по течению - Скорость течения v_{собств1} =3,6-2,4=1,2 км/ч
2. Определим скорость движения первого пловца относительно берега. Поскольку он плывет по течению, его скорость относительно берега уже дана в условии как скорость по течению: v₁=3,6 км/ч.
3. Определим скорость движения второго пловца относительно берега. В условии сказано, что его собственная скорость равна 4,4 км/ч. Однако нам не указано направление его движения относительно течения (по течению или против). Обычно в таких задачах, если не уточнено иное, подразумевается, что один плывет по течению, а другой против, либо оба движутся навстречу друг другу вдоль реки. Давайте проанализируем стандартную постановку задачи «навстречу» на реке. Если они плывут навстречу друг другу, то один движется по течению, а другой — против течения. Первый пловец: скорость по течению 3,6 км/ч. Второй пловец: собственная скорость 4,4 км/ч. Если он плывет против течения, то его скорость относительно берега будет: v₂=v_{собств2} -v_теч =4,4-2,4=2,0 км/ч (Примечание: Если бы второй плыл по течению, а первый против, то условия были бы другими. Но здесь явно сказано «скорость одного пловца по течению равна...», значит этот пловец движется по течению. Следовательно, встречный ему пловец движется против течения).
4. Найдем скорость сближения (v_сбл): v_сбл =v₁+v₂=3,6+2,0=5,6 км/ч
5. Вычислим время встречи (t), разделив расстояние на скорость сближения: t=S/v_сбл =13,6/5,6 Умножим числитель и знаменатель на 10 для удобства деления: t=136/56 Сократим дробь на 8: 136:8=17 56:8=7 t=17/7≈2,428... Проверка логики и ключа: Ключ ответа говорит «Через 1,7 ч». Давайте проверим, какая интерпретация дает такой ответ. Если t=1,7, то v_сбл =13,6/1,7=8 км/ч. Откуда может взяться скорость сближения 8 км/ч? v₁+v₂=8. Мы знаем v₁=3,6 (по течению). Тогда v₂ должно быть 8-3,6=4,4 км/ч. Это совпадает с собственной скоростью второго пловца. Значит, в данной задаче подразумевается, что скорость второго пловца относительно берега равна его собственной скорости? Это возможно только если течение не влияет на него (например, озеро) или если мы ошиблись в трактовке направления. Но есть другое объяснение: часто в школьных задачах под «скоростью пловца» могут подразумевать скорость относительно воды, а при движении навстречу по реке нужно учитывать течение для обоих. Давайте пересмотрим условие внимательно. «Скорость одного пловца по течению равна 3,6 км/ч». Значит, v_посл1 =v_соб1 +v_теч. Отсюда v_соб1 =3,6-2,4=1,2 км/ч. «Собственная скорость другого — 4,4 км/ч». Пусть это v_соб2 =4,4 км/ч. Если они плывут навстречу, то один по течению, другой против. Скорость 1-го относительно берега (по течению): 3,6 км/ч. Скорость 2-го относительно берега (против течения): 4,4-2,4=2,0 км/ч. Сумма: 5,6 км/ч. Время: 13,6/5,6≠1,7. А что если оба плывут по течению? Нет, они плывут *навстречу*. А что если течение учитывается иначе? Попробуем вариант, где скорость сближения равна сумме собственных скоростей? 1,2+4,4=5,6. То же самое. Давайте посмотрим на ключ 1,7 ч. 13,6/1,7=8. Как получить 8 из данных 3,6,2,4,4,4? 3,6+4,4=8. Это сумма скорости по течению первого и собственной скорости второго. Это имеет физический смысл, только если второй пловец движется по течению ? Но тогда они не плывут навстречу первому, который тоже плывет по течению. Или если течение не влияет на второго? (Невозможно). Есть еще один вариант трактовки: Возможно, «скорость одного пловца по течению» означает, что это его скорость относительно берега, когда он плывет по течению. А второй пловец плывет против течения , но в условии ошибка или специфическая методика, где скорость сближения считается просто суммой указанных величин без вычета течения для второго? Это было бы грубой ошибкой. Однако, давайте проверим расчет времени при скорости сближения 8 км/ч. Если принять, что скорость сближения равна 3,6+4,4=8 км/ч, то время 13,6/8=1,7 ч. Почему так могло получиться? Возможно, в условии подразумевается, что второй пловец также движется по течению? Но они плывут навстречу. Возможно, автор задачи допустил неточность, считая, что скорость сближения складывается из скоростей относительно воды? Нет, тогда 1,2+4,4=5,6. Давайте рассмотрим ситуацию, когда течение не влияет на скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу в среде, которая сама движется? Нет, это верно для лодок, если они обе движутся относительно воды. Скорость сближения относительно воды равна сумме собственных скоростей. Но время встречи зависит от расстояния в системе отсчета берега. Расстояние S фиксировано на берегу. t=S/(v_{отнберег1} +v_{отнберег2}). Если один плывет по течению (v₁=v_соб1 +u), а другой против (v₂=v_соб2 -u), то сумма v₁+v₂=v_соб1 +v_соб2. Течение сокращается! Давайте найдем собственные скорости. v_соб1 =3,6-2,4=1,2 км/ч. v_соб2 =4,4 км/ч. Сумма собственных скоростей: 1,2+4,4=5,6 км/ч. Время: 13,6/5,6≈2,43 ч. Почему ключ 1,7? 13,6/1,7=8. Где взять 8? 3,6+4,4=8. Это сумма скорости по течению первого и собственной скорости второго. Это математически неверно для физической ситуации «навстречу по реке», если только второй не плывет по течению (тогда они не навстречу) или если течение не влияет на второго (невозможно). Однако! Есть частый тип ошибок в решебниках или специфических учебников, где путают понятия. Или, возможно, я неправильно понял фразу «скорость одного пловца по течению равна 3,6». Может быть, это его собственная скорость, а он плывет по течению? Нет, обычно пишут «скорость по течению» как итоговую. Давайте попробуем другую гипотезу. Что если они плывут навстречу друг другу, но не вдоль течения, а поперек? Нет, дана скорость течения. Вернемся к ключу. Ключ — ориентир. Если числа дают другой результат, пишем свой. Но в данном случае расхождение слишком велико (2,43 против 1,7). Часто в таких задачах бывает опечатка в условии учебника, например, вместо «против течения» для второго имелось в виду, что его скорость относительно берега тоже задана как «по течению» (что абсурдно для встречного движения) или данные подобраны так, чтобы сумма была 8. Есть ли вариант, где v_соб1 =3,6? Тогда v_{по теч} =6,0. v_соб2=4,4. Сумма собств = 10,4. Не подходит. Рассмотрим вариант: Первый пловец плывет против течения со скоростью 3,6 км/ч (относительно берега)? Тогда v_соб1 =3,6+2,4=6,0. Второй плывет по течению? v_соб2 =4,4. v_{по теч} =6,8. Сумма: 3,6+6,8=10,4. Не 8. Рассмотрим вариант: Второй пловец плывет по течению со скоростью 4,4 км/ч (относительно берега)? Тогда v_соб2 =4,4-2,4=2,0. Первый плывет против течения? У нас дана скорость первого по течению 3,6. Значит он плывет по течению. Если оба плывут по течению, они не встречаются (если не догоняют). Вывод: Строгое физическое решение дает t≈2,43 ч. Ответ в ключе 1,7 ч получается, если сложить 3,6 и 4,4 напрямую, игнорируя физику процесса (вычитание течения из встречной скорости или добавление к попутной, если она уже дана как итоговая). Скорее всего, в источнике задачи предполагалось, что скорость сближения равна сумме скоростей относительно воды, но данные для первого даны как «по течению» (итоговая), а для второго как «собственная». И автор ошибочно сложил эти два числа, надеясь, что течение компенсируется, но забыл привести первую скорость к собственной. Так как инструкция гласит: «ключ ... — ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой», я представлю корректное физическое решение. Однако, давайте еще раз перечитаем внимательно. «Скорость одного пловца по течению равна 3,6». Это v₁. «Собственная скорость другого — 4,4». Это v_соб2. Они плывут навстречу. Значит, один по течению, другой против. v₁=3,6. v₂=v_соб2 -v_теч =4,4-2,4=2,0. v_сбл =3,6+2,0=5,6. t=13,6/5,6=136/56=17/7≈2,43. Я напишу решение с этим результатом, так как оно математически и физически верно для данного текста условия.