ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 2.9: Действия со смешанными числами

План решения:

Для пункта а) нужно найти все пары натуральных множителей для каждого числа. Это делается путем перебора делителей от 1 до корня из числа или просто последовательного деления на простые числа и составные множители. Для пункта б) задача сводится к тому же принципу: размеры теплицы (длина и ширина) — это два натуральных числа, произведение которых равно площади 24 м². Нам нужно найти все такие пары.

Вычисление:

а) Разложение на два множителя:

• Число 20 . Ищем пары (a;b), где a·b=20.
  1·20=20
  2·10=20
  4·5=20
  Дальше идут повторения в обратном порядке (5·4, 10·2, 20·1). Обычно в таких задачах порядок множителей не важен, если не сказано иное, но часто подразумевают уникальные комбинации. Если считать упорядоченные пары, то их больше. В школьном курсе обычно имеют в виду набор различных пар без учета порядка или с учетом порядка как разных способов расстановки. Давайте выпишем все варианты разложения на два натуральных множителя:
  20=1·20=2·10=4·5=5·4=10·2=20·1. Всего 6 способов, если учитывать порядок. Если порядок не важен, то 3 способа. Посмотрим на другие числа.
  Число 46 . Делители: 1, 2, 23, 46.
  46=1·46=2·23=23·2=46·1. Всего 4 способа (или 2 пары).
  Число 77 . Делители: 1, 7, 11, 77.
  77=1·77=7·11=11·7=77·1. Всего 4 способа (или 2 пары).

В контексте учебников 6 класса под «способами разложить на два множителя» чаще всего понимают количество различных пар натуральных чисел (a,b), таких что a·b=N. Если не оговорено, что порядок важен, то обычно считают пары d(N)+1/2 для квадратов и d(N)/2 для неквадратов, где d(N) — количество делителей. Однако, чтобы быть точным, перечислим все возможные варианты записей произведения двух натуральных чисел.

Для числа 20: 1·20,2·10,4·5,5·4,10·2,20·1. (6 способов)
Для числа 46: 1·46,2·23,23·2,46·1. (4 способа)
Для числа 77: 1·77,7·11,11·7,77·1. (4 способа)

б) Размеры теплицы площадью 24 м²:

Пусть длина равна a метров, а ширина b метров. Тогда a·b=24, где a,b∈N. Найдем все пары делителей числа 24:
1·24=24
2·12=24
3·8=24
4·6=24
Также возможны обратные пары, так как длина и ширина могут меняться местами (прямоугольник 4×6 отличается от 6×4 только ориентацией, но размеры те же). В задачах на «размеры» обычно перечисляют уникальные геометрические формы, то есть пары d(24)/2. Количество делителей 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (всего 8). Значит, уникальных пар размеров 4.
Размеры могут быть: 1 м и 24 м; 2 м и 12 м; 3 м и 8 м; 4 м и 6 м.

Проверка:

Перемножим найденные множители для пункта а):
1·20=20, 2·10=20, 4·5=20. Верно.
1·46=46, 2·23=46. Верно.
1·77=77, 7·11=77. Верно.
Для пункта б):
1·24=24, 2·12=24, 3·8=24, 4·6=24. Все произведения дают площадь 24 м². Числа натуральные. Решение корректно.