ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 3.136: Отношения и пропорции

План решения:

• Разберём пункт а): вспомним определение осевой симметрии и рассмотрим возможные взаимные расположения отрезков относительно оси.
• Разберём пункт б): вспомним определение центральной симметрии и проанализируем, могут ли образы отрезка пересекать его самого.
• Для каждого случая приведём обоснование и опишем пример (вместо рисунка дадим словесное описание конфигурации).

Вычисление и рассуждения:

а) Два отрезка, симметричные относительно прямой.

Пусть дан отрезок AB и ось симметрии l. Отрезком, симметричным AB относительно l, будет отрезок A₁B₁, где точки A₁ и B₁ симметричны точкам A и B соответственно.

Если исходный отрезок AB пересекает ось симметрии l в некоторой точке M, то точка M лежит на оси, значит, она совпадает со своей симметричной точкой (M=M₁). Следовательно, точка M принадлежит как отрезку AB, так и отрезку A₁B₁. В этом случае отрезки пересекаются.

Пример для рисунка: Нарисуйте вертикальную прямую l. Проведите горизонтальный отрезок AB, который пересекает l посередине. Его симметричный образ A₁B₁ будет тем же самым отрезком (если он перпендикулярен оси) или другим отрезком, лежащим на той же прямой, но если взять отрезок под углом к оси, например, идущий из левого верхнего угла в правый нижний через ось, то его зеркальное отражение будет идти из правого верхнего в левый нижний. Они точно пересекутся на оси.

Таким образом, ответ: да, могут .

б) Два центрально-симметричных отрезка.

Пусть дан отрезок AB и центр симметрии O. Отрезком, симметричным AB относительно O, является отрезок A′B′, где A′ — точка, симметричная A относительно O, а B′ — точка, симметричная B относительно O. Это означает, что O является серединой отрезков AA′ и BB′.

Рассмотрим случай, когда центр симметрии O лежит внутри отрезка AB. Тогда точка A′ будет лежать на продолжении отрезка AO за точку O, а точка B′ — на продолжении BO за точку O. Поскольку O лежит между A и B, то A′ и B′ также будут расположены так, что отрезок A′B′ проходит через точку O. Более того, так как OA′=OA и OB′=OB, а O лежит на AB, то отрезок A′B′ частично или полностью совпадает с отрезком AB или пересекает его.

Конкретнее: если O — середина AB, то A′ совпадает с B, а B′ совпадает с A. Тогда отрезок A′B′ совпадает с отрезком BA, то есть это тот же самый отрезок. Совпадающие отрезки считаются пересекающимися (у них бесконечное множество общих точек).

Если O не является серединой, но лежит внутри AB, то отрезок A′B′ будет лежать на той же прямой, что и AB, и пересекаться с ним в области вокруг центра O.

Если же мы хотим получить именно пересечение в одной точке (не совпадение), можно рассмотреть отрезок AB, не проходящий через центр O, но такой, что его образ A′B′ пересекает его. Например, пусть AB параллелен какой-то прямой, проходящей через O, но сам не проходит через O. Тогда A′B′ будет параллелен AB и не пересечёт его. Но если взять два разных отрезка, которые являются образами друг друга? Нет, задача ставит вопрос о двух отрезках, один из которых симметричен другому. Значит, они связаны центром O.

Давайте возьмем простой случай: отрезок AB проходит через центр O. Тогда его образ A′B′ лежит на той же прямой. Если O не середина AB, то отрезки AB и A′B′ имеют общую часть (пересечение). Если O середина, то они совпадают. В обоих случаях они «пересекаются» (имеют общие точки).

Можно ли получить пересечение в одной точке без совпадения? Да. Пусть отрезок AB не проходит через O. Тогда A′B′ лежит на другой прямой, параллельной AB (так как центральная симметрия сохраняет направление векторов с обратным знаком, но для отрезка это значит, что прямая A′B′ параллельна прямой AB). Параллельные прямые не пересекаются. Значит, чтобы отрезки пересеклись, они должны лежать на пересекающихся прямых. Но при центральной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя, если проходит через центр). Следовательно, если отрезок не проходит через центр, его образ лежит на параллельной прямой и не может пересечься с оригиналом. Если отрезок проходит через центр, то его образ лежит на той же прямой, и они либо совпадают, либо имеют общую часть.

Вопрос «могут ли пересекаться» обычно подразумевает наличие хотя бы одной общей точки. Так как в случае прохождения через центр общая часть существует, то ответ утвердительный.

Таким образом, ответ: да, могут .

Проверка:

а) Осевая симметрия: отрезок, пересекающий ось, имеет общий с своим образом точку на оси. Верно.

б) Центральная симметрия: отрезок, содержащий центр симметрии, имеет общий с своим образом отрезок (или точку, если вырожденный случай, но здесь отрезки нетривиальные). Верно.