ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 3.181: Отношения и пропорции

План решения:

Нам нужно расставить цифры от 1 до 9 без повторений в равенстве вида ab·c=def=g·hi. Здесь ab — двузначное число, c — однозначное, def — трёхзначное произведение, а правая часть представляет собой произведение однозначного числа g и двузначного числа hi. Всего используется 9 цифр: две в первом множителе слева, одна во втором, три в результате (которые также являются результатом справа), одна в первом множителе справа и две во втором. Итого 2+1+3+1+2=9 позиций для цифр 1-9.

Пошаговое вычисление:

Рассмотрим структуру равенства: A·B=C=D·E, где A и E — двузначные числа, B и D — однозначные, C — трёхзначное число. Все цифры в числах A,B,C,D,E различны и принадлежат множеству {1,2,...,9}. 1. Оценим возможные значения произведения C. Так как используются все цифры 1-9, сумма всех цифр равна 1+2+...+9=45. Это не влияет напрямую на значение C, но ограничивает набор доступных цифр. 2. Попробуем подобрать варианты, исходя из того, что C должно быть представимо двумя способами с использованием разных цифр. 3. Рассмотрим вариант, когда один из множителей равен 7 или 8, так как они дают большие приращения. Попробуем найти решение методом перебора логических цепочек. Известно классическое решение этой задачи: 12·483? Нет, структура другая. Структура: ** * * = *** = * * ** То есть: (двузначное)×(однозначное)=(трёхзначное)=(однозначное)×(двузначное). Давайте проверим гипотезу с числом 168. Слева: 168/2=84. Цифры: 1, 6, 8, 2, 8, 4. Повтор 8. Не подходит. Слева: 168/3=56. Цифры: 1, 6, 8, 3, 5, 6. Повтор 6. Не подходит. Слева: 168/4=42. Повтор 4. Слева: 168/7=24. Цифры: 1, 6, 8, 7, 2, 4. Все разные: {1, 2, 4, 6, 7, 8}. Остались цифры: {3, 5, 9}. Теперь посмотрим на правую часть: ···=····. У нас уже использованы цифры для левого выражения и результата. Но результат тот же самый! Значит, цифры результата фиксированы. В нашем примере результат 168. Цифры результата: 1, 6, 8. Левая часть: 24·7=168. Использованные цифры: 2, 4, 7, 1, 6, 8. Правая часть должна дать 168, используя оставшиеся цифры: 3, 5, 9. Нужно составить из 3, 5, 9 выражение вида (однозначное)×(двузначное)=168. Проверим варианты: 3×59=177 (не 168) 3×95=285 (не 168) 5×39=195 (не 168) 5×93=465 (не 168) 9×35=315 (не 168) 9×53=477 (не 168) Значит, комбинация 24·7=168 не работает с остатком цифр. Попробуем другой результат. Пусть результат будет 138. Делители 138: 1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138. Вариант слева: 46·3=138. Цифры: 4, 6, 3, 1, 3, 8. Повтор 3. Не подходит. Вариант слева: 69·2=138. Цифры: 6, 9, 2, 1, 3, 8. Разные: {1, 2, 3, 6, 8, 9}. Остались: {4, 5, 7}. Правая часть из {4, 5, 7} должна дать 138. 4×57=228 4×75=300 5×47=235 5×74=370 7×45=315 7×54=378 Не подходит. Попробуем результат 156. 156/2=78. Цифры: 7, 8, 2, 1, 5, 6. Разные: {1, 2, 5, 6, 7, 8}. Остались: {3, 4, 9}. Из {3, 4, 9} получить 156? 3×49=147 3×94=282 4×39=156! Да! Проверим цифры правой части: 4·39=156. Цифры: 4, 3, 9, 1, 5, 6. Объединим все используемые цифры: Левая часть: 78·2=156. Цифры: 7, 8, 2, 1, 5, 6. Правая часть: 4·39=156. Цифры: 4, 3, 9, 1, 5, 6. Результат общий: 1, 5, 6. Полный набор цифр в равенстве 78·2=156=4·39: 7, 8, 2, 1, 5, 6, 4, 3, 9. Сортируем: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все цифры от 1 до 9 использованы ровно по одному разу. Равенство верно: 78·2=156 и 4·39=156. Запишем в требуемом формате: ····=···=···· Подставляем найденные числа: 78·2=156=4·39

Проверка:

• Левая часть: 78·2=156.
• Правая часть: 4·39=156.
• Центральная часть: 156.
• Использованные цифры: 7, 8, 2, 1, 5, 6, 4, 3, 9.
• Каждая цифра от 1 до 9 встречается ровно один раз.
• Условие выполнено.