ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 4.26: Действия с рациональными числами

Для решения задачи нужно составить четырёхзначные числа из цифр 4,8,3,5, которые удовлетворяют двум условиям: делятся на 36 и оканчиваются на цифру 4.

План действий:

1. Разложим делитель 36 на взаимно простые множители: 36=4·9. Значит, число должно делиться одновременно на 4 и на 9.
2. Проверим признак делимости на 4. Число делится на 4, если последние две его цифры образуют число, кратное 4. По условию последняя цифра — 4. Пусть предпоследняя цифра будет x. Тогда двузначное число x4 должно делиться на 4. Переберём возможные цифры из оставшихся {8,3,5}:
   • Если x=8, то 84:4=21 (делится).
   • Если x=3, то 34:4=8.5 (не делится).
   • Если x=5, то 54:4=13.5 (не делится).
   Таким образом, предпоследняя цифра может быть только 8. Последние две цифры числа фиксированы: …84.
3. Остались две цифры для первых двух разрядов: 3 и 5. Возможны два варианта расположения этих цифр в начале числа: 3584 или 5384.
4. Проверим признак делимости на 9. Сумма цифр числа должна делиться на 9.
   • Сумма всех доступных цифр: 4+8+3+5=20. Так как мы используем все четыре цифры ровно по одному разу, сумма цифр любого составленного числа будет равна 20.
   • Число 20 не делится на 9 (20:9=2 с остатком 2).
   Это означает, что ни одно число, составленное из цифр 4,8,3,5, не может делиться на 9, а следовательно, и на 36.

Вывод: Задача содержит противоречие в условиях или предполагает ошибку в наборе цифр/требованиях. Однако, если внимательно перечитать условие «Составьте... четыре различных числа», это звучит как утверждение о возможности их составления. Давайте перепроверим логику. Возможно, я упустил что-то важное?

Перечитаем условие: «из цифр 4, 8, 3 и 5». Обычно в таких задачах подразумевается использование каждой цифры ровно один раз для составления одного числа. Если так, то сумма цифр всегда 20, и делимость на 9 невозможна.

Но иногда в школьных задачах формулировка «из цифр ...» может допускать повторения? Нет, обычно «составьте число из цифр A, B, C, D» означает перестановку этих конкретных цифр. Если бы допускались повторения, задача была бы бесконечной или требовала других ограничений.

Давайте проверим альтернативную интерпретацию: может быть, нужно составить четыре разных числа , используя эти цифры, но не обязательно все сразу? Или, возможно, опечатка в условии учебника (например, вместо 5 должна быть другая цифра, чтобы сумма делилась на 9)?

Если предположить, что условие верно и решение существует, давайте поищем ошибки в рассуждении. Признак делимости на 36: деление на 4 и на 9. Это верно. Цифры: 4, 8, 3, 5. Сумма: 20. Не делится на 9. Вывод строгий: таких чисел нет.

Однако, часто в подобных задачах для 6 класса бывает подвох или специфическая трактовка. Например, может быть разрешено использовать не все цифры? Но тогда «четыре различных числа» можно составить легко, просто варьируя порядок. Но требование «кратных 36» остаётся жёстким.

Давайте посмотрим на похожие задачи. Часто встречается набор цифр, дающий сумму, кратную 9. Например, 1, 2, 3, 4 (сумма 10 - нет), 1, 3, 5, 7 (сумма 16 - нет). Набор 4, 8, 3, 5 явно не подходит для делимости на 9.

Возможно, в условии ошибка, и одна из цифр другая? Или требуется деление на другое число? Без исправления условия математически корректного ответа «существует такие числа» дать нельзя.

Тем не менее, если строго следовать инструкции «ключ — ориентир, а не приказ; если числа дают другой результат, пиши свой», то мой результат: таких чисел не существует .

Но давайте ещё раз проверим признак делимости на 4. Число оканчивается на 4. Предпоследняя цифра d. Число 10d+4 делится на 4. 10d+4=2(5d+2). Чтобы делилось на 4, 5d+2 должно быть чётным, значит 5d чётное, значит d чётное. Из цифр $\\