ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 4.21: Действия с рациональными числами

План решения:

• Вспомним определения неправильной дроби и обратной к ней дроби.
• Обозначим неправильную дробь как a/b, где a≥b>0.
• Запишем обратную дробь как b/a.
• Сравним расстояния от каждой из этих дробей до числа 1. Расстояние на координатной прямой вычисляется как модуль разности чисел.

Вычисление:

Пусть дана неправильная дробь x=a/b. По определению, для неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю: a≥b. При этом обычно рассматривают случаи, когда дробь не равна единице (так как если a=b, то обе дроби равны 1 и находятся на одинаковом расстоянии — нулевом). Предположим, что a>b.

Расстояние от неправильной дроби a/b до единицы равно:

(Так как a>b, то a/b>1, модуль раскрывается без изменения знака).

Обратная к ней дробь равна y=b/a. Так как a>b, то b/a<1. Это правильная дробь.

Расстояние от обратной дроби b/a до единицы равно:

Теперь сравним d₁ и d₂:

Числители у обеих дробей одинаковы (a-b>0). Знаменатель первой дроби равен b, а второй — a.

По условию a>b. Если у двух положительных дробей с одинаковыми числителями знаменатели разные, то та дробь меньше, у которой знаменатель больше.

Следовательно, a-b/a<a-b/b, то есть d₂<d₁.

Проверка и вывод:

Пример: пусть неправильная дробь 3/2=1.5. Обратная к ней дробь 2/3≈0.67. Расстояние от 1.5 до 1: |1.5-1|=0.5. Расстояние от 0.67 до 1: |0.67-1|≈0.33. 0.33<0.5, значит, обратная дробь расположена ближе к единице.

Ещё пример: дробь 5/4=1.25. Обратная 4/5=0.8. d₁=|1.25-1|=0.25. d₂=|0.8-1|=0.2. 0.2<0.25, снова обратная дробь ближе.

Если же неправильная дробь равна 1 (например, 2/2), то она совпадает с единицей, расстояние 0. Обратная дробь тоже 1, расстояние 0. В этом частном случае они равноудалены. Но в общем случае для строго неправильных дробей (a>b) ответ однозначен.