ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 4.323: Действия с рациональными числами

В данной задаче нам нужно проверить конкретные случаи равенства модулей произведения и произведения модулей |ab|=|a|·|b|, а затем обосновать его справедливость для любых действительных чисел. Часть 1. Проверка конкретных случаев Рассмотрим первый случай: a=0,1 и b=-2.Вычислим левую часть равенства |ab|: ab=0,1·(-2)=-0,2 |ab|=|-0,2|=0,2Вычислим правую часть равенства |a|·|b|: |a|=|0,1|=0,1 |b|=|-2|=2 |a|·|b|=0,1·2=0,2

Сравниваем результаты: 0,2=0,2. Равенство верно.

Рассмотрим второй случай: a=-1/2 (или -0,5) и b=3.

• Вычислим левую часть равенства |ab|: ab=-1/2·3=-3/2=-1,5 |ab|=|-1,5|=1,5Вычислим правую часть равенства |a|·|b|: |a|=|-1/2|=1/2=0,5 |b|=|3|=3 |a|·|b|=0,5·3=1,5Сравниваем результаты: 1,5=1,5. Равенство верно. Часть 2. Доказательство для любых значений a и b Чтобы доказать, что |ab|=|a|·|b| при любых a и b, вспомним определение модуля числа. Модуль числа — это расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой, то есть неотрицательное число. Алгебраически:$|x|={x,если x≥0-x,если x Докажем равенство, рассмотрев все возможные комбинации знаков множителейa и b : Еслиa \ge 0и b \ge 0. Тогда произведениеab \ge 0. Следовательно,\lvert ab\rvert = ab . Также\lvert a\rvert =a и\lvert b\rvert =b . Правая часть равна a \cdot b . Получаем ab = ab . Верно. Еслиa \le 0и b \le 0. Тогда произведение двух отрицательных чисел положительно или равно нулю:ab \ge 0. Следовательно,\lvert ab\rvert = ab . По определению модуля\lvert a\rvert = -a и\lvert b\rvert = -b . Правая часть равна(-a) \cdot (-b) = ab . Получаем ab = ab . Верно. Еслиa > 0и b Тогда произведение отрицательно: ab Еслиa 0. Аналогично предыдущему пункту:ab Если хотя бы одно из чисел равно нулю (a=0 или b=0). Пусть a=0. Тогда ab=0, |ab|=0. |a|=0, |b| — какое-то число. |a|·|b|=0·|b|=0. Равенство 0=0 верно.Так как мы перебрали все возможные случаи знаков, доказательство завершено. Свойство модуля произведения является фундаментальным свойством абсолютного значения.