ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 6.104: Координаты на плоскости

План решения:

Нам нужно найти последнюю цифру разности двух чисел: A=1·2·3·…·26 и B=27·1·3·5·…·25. Последняя цифра числа определяется его остатком от деления на 10. Мы вычислим последние цифры каждого произведения отдельно, а затем найдём последнюю цифру их разности.

Вычисление:

Рассмотрим первое произведение A=1·2·3·…·26. Это факториал числа 26 (26!). В этом произведении есть множители 2 и 5 (например, в числе 10 или просто как отдельные множители 2 и 5). Поскольку 2·5=10, любое число, содержащее в своём разложении на простые множители хотя бы одну двойку и одну пятёрку, оканчивается на 0. Так как 26! содержит много двоек и пятёрок, то последняя цифра числа A равна 0 .

Теперь рассмотрим второе произведение B=27·1·3·5·…·25. Нам нужна только последняя цифра этого произведения. Для этого достаточно перемножать последние цифры всех множителей по модулю 10. Множители: 27,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25. Заметим, что среди множителей есть нечётные числа, заканчивающиеся на 5 (это само число 5, 15, 25) и другие нечётные числа. Давайте сгруппируем множители для удобства: B=27·(1·3·5·7·9·11·13·15·17·19·21·23·25) Внутри скобок у нас произведение нечётных чисел от 1 до 25. Обратим внимание на множитель 5. Все остальные множители нечётны и не делятся на 5 (кроме 15 и 25, но они тоже содержат 5). Проще всего посмотреть на закономерность последних цифр при умножении на нечётные числа. Однако есть более быстрый способ: заметим, что в произведении B есть множитель 5. Если мы умножим 5 на любое нечётное число, результат будет оканчиваться на 5. Если мы умножим 5 на чётное число, результат будет оканчиваться на 0. Все множители в B — нечётные (27,1,3,5,…,25). Следовательно, всё произведение B является нечётным числом, кратным 5. Любое нечётное число, кратное 5, обязательно оканчивается на цифру 5. Таким образом, последняя цифра числа B равна 5 .

Теперь найдём последнюю цифру разности A-B. Последняя цифра A равна 0. Последняя цифра B равна 5. Нам нужно вычислить 0-5 по модулю 10. Так как 0 меньше 5, мы занимаем единицу из следующего разряда (как при обычном вычитании столбиком): 10-5=5 Следовательно, последняя цифра разности равна 5.

Проверка:

1. A=26!. Окончательно ли он на 0? Да, так как содержит множители 2 и 5. 2. B=27·1·3·…·25. Все множители нечётные. Есть множитель 5. Произведение нечётного числа на 5 всегда оканчивается на 5. Верно. 3. Разность: Число, оканчивающееся на 0, минус число, оканчивающееся на 5. Пример: 10-5=5, 20-15=5, 100-5=95. Везде последняя цифра 5. Ответ верен.