ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 10

Всего сотрудников 16. После увольнения одного человека остаётся 15 человек. Для нечётного количества данных (n=15) медианой является центральное значение, то есть 8-е по возрастанию в новом ряду.

По условию, если уволится Александр, новая медиана станет 47000 р. Это означает, что зарплата того сотрудника, который займёт 8-е место в отсортированном списке оставшихся 15 человек, равна 47000 р.

Аналогично, если уволится Владимир, останется 15 человек, и медианой будет 8-е значение в их отсортированном списке.

По условию, эта медиана равна 51000 р. Значит, зарплата сотрудника, занимающего 8-е место после удаления Владимира, составляет 51000 р.

Рассмотрим исходный список из 16 зарплат, отсортированный по возрастанию: x₁≤x₂≤…≤x₁₆. Текущая медиана M=x₈+x₉/2.

Что происходит при удалении элемента из списка?

• Если удалить элемент с индексом k, то элементы с индексами меньше k сохраняют свои позиции, а элементы с индексами больше k смещаются на одну позицию влево (их новый индекс равен старому минус 1).
• Нам нужно понять, какие именно значения становятся 8-ми в новых списках.

Пусть Александр имеет зарплату A, а Владимир — V.

Случай А: Удаление Александра даёт медиану 47000. Это значит, что в списке без Александра 8-й элемент равен 47000. Где мог находиться Александр в исходном списке? 1. Если A<x₈, то удаление Александра сдвигает все элементы начиная с x₈ влево. Тогда новым 8-м элементом становится старый x₉. Значит, x₉=47000. 2. Если A>x₈, то первые 8 элементов остаются на своих местах. Новый 8-й элемент — это старый x₈. Значит, x₈=47000. 3. Если A=x₈ или A=x₉, результат зависит от порядка дубликатов, но суть та же: одно из центральных значений исходного ряда равно 47000.

Случай Б: Удаление Владимира даёт медиану 51000. Аналогично: 1. Если V<x₈, то новый 8-й элемент — это старый x₉. Значит, x₉=51000. 2. Если V>x₈, то новый 8-й элемент — это старый x₈. Значит, x₈=51000.

Теперь сопоставим эти выводы. Мы знаем, что x₈≤x₉. Из условия следует, что пара (x_8,x₉) должна быть такой, чтобы при удалении одного конкретного человека одна из этих величин становилась медианой 47000, а при удалении другого — 51000.

Рассмотрим возможные комбинации для пары (x_8,x₉):

Давайте рассуждать проще. Текущая медиана M=x₈+x₉/2. Мы выяснили, что x₈ и x₉ принимают значения 47000 и 51000 в некотором порядке, либо оба равны одному из этих чисел (что невозможно, так как медианы разные), либо находятся между ними.

Однако, давайте посмотрим внимательнее. Если x₈=47000 и x₉=51000, то текущая медиана M=47000+51000/2=49000. Проверим, возможно ли это. Допустим, Александр — это сотрудник с зарплатой x₉=51000 (или выше). При его увольнении элементы x₁…x₈ остаются на месте. Новый 8-й элемент — это x₈=47000. Медиана становится 47000. Совпадает с условием. Допустим, Владимир — это сотрудник с зарплатой x₈=47000 (или ниже). При его увольнении элементы сдвигаются. Старый x₉ становится новым 8-м элементом. Новый 8-й элемент — это x₉=51000. Медиана становится 51000. Совпадает с условием.

Таким образом, ситуация x₈=47000 и x₉=51000 полностью удовлетворяет условиям задачи.

Могут ли быть другие варианты? Например, если x₈=47000 и x₉=47000. Тогда при любом удалении медиана будет 47000 (если удаляем правую часть) или 47000 (если удаляем левую, следующий элемент тоже 47000 или больше). Но у нас вторая медиана 51000, значит этот вариант не подходит. Если x₈=51000 и x₉=51000, то первая медиана была бы 51000, что противоречит условию (47000). Если x₈<47000, то даже при сдвиге медиана не может стать 47000, если только x₉ не равно 47000. Но тогда при удалении "левого" кандидата медиана станет x₉=47000, а при удалении "правого" — x₈<47000, что не дает 51000.

Единственная устойчивая конфигурация для центральных двух значений, дающая такие разбросы медиан при удалении крайних кандидатов из центральной зоны, это когда x₈=47000 и x₉=51000.

Следовательно, текущая медиана равна среднему арифметическому этих двух чисел:

Исходные данные: 16 сотрудников. Отсортированные зарплаты: …,47000(x₈),51000(x₉),… Текущая медиана: 49000. 1. Увольняется Александр. Пусть его зарплата была 51000 (он занимал место x₉ или выше). Остается 15 человек. Новые x′₁…x′₁₅ соответствуют старым x₁…x_8,x₁₀…x₁₆. Центральный элемент x′₈ равен старому x₈, то есть 47000. Новая медиана 47000. Верно. 2. Увольняется Владимир. Пусть его зарплата была 47000 (он занимал место x₈ или ниже). Остается 15 человек. Новые x′′₁…x′′₁₅ соответствуют старым x₁…x_7,x₉…x₁₆. Центральный элемент x′′₈ равен старому x₉, то есть 51000. Новая медиана 51000. Верно.

Ответ найден корректно.