ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 133: Элементарные события и их вероятности

а) Чтобы определить наименьшее число партий, представим самый быстрый вариант окончания игры: один игрок выигрывает все первые три партии подряд. В этом случае счёт становится 3:0, и игра завершается. Таким образом, минимальное число партий равно 3.

Чтобы найти наибольшее число партий, рассмотрим ситуацию, когда победа достигается с минимально возможным перевесом после максимально долгой борьбы. Игра заканчивается, как только кто-то набирает 3 очка. Это значит, что перед последней партией счёт мог быть 2:2. Если бы счёт был 2:1 или меньше, игра могла бы закончиться раньше. При счёте 2:2 требуется ещё одна партия для определения победителя (3:2). Следовательно, всего сыграно 4 партии? Нет, давайте проверим внимательнее. Максимум партий возникает, когда счёт идёт «в упор». Например: А, С, А, С, А. Здесь Андрей выиграл на 5-й партии со счётом 3:2. Можно ли сыграть больше 5 партий? Нет, так как при 6 партиях минимум у одного игрока было бы уже 3 победы к моменту 5-й или 6-й партии, но игра останавливается сразу после достижения 3 побед. Значит, максимальное число партий — 5.

Ответ а): Наименьшее число партий — 3, наибольшее — 5.

б) Обозначим победу Андрея буквой A, а победу Сергея буквой S. Исход эксперимента — это последовательность результатов партий, которая заканчивается ровно тогда, когда количество A или S достигает трёх.

Разобьём перечисление по количеству сыгранных партий:

• 3 партии: Один игрок выигрывает все три.
  • AAA (победа Андрея)
  • SSS (победа Сергея)
• 4 партии: Победитель выигрывает 3 партии, проиграв одну из первых трёх. Последняя партия всегда за победителем.
  • Победа Андрея (3A,1S): SAAA, ASAA, AASA
  • Победа Сергея (3S,1A): ASSS, SASS, SSAS
• 5 партий: Победитель выигрывает 3 партии, проиграв две из первых четырёх. Последняя партия за победителем.
  • Победа Андрея (3A,2S): Нужно выбрать позиции для двух S среди первых четырёх партий. Варианты: SSAAA, SASAA, SAASA, ASSAA, ASASA, AASSA. Всего 42=6 вариантов.
  • Победа Сергея (3S,2A): Аналогично, выбираем позиции для двух A среди первых четырёх. Варианты: AAASS, AASAS, AASSA (уже учтено выше? Нет, здесь последние S), ASAAS, ASASA, ASSAA (нет, тут последние S). Давайте выпишем аккуратно:
    • AAASS
    • AASAS
    • ASAAS -> ASAAS
    • ASSAA -> нет, тут последние S? Нет, в ASSAA последние две буквы AA, значит 5-я партия за Сергеем? Нет, в записи ASSAA последняя буква A. Значит это победа Андрея. Ошибка в логике перебора. Для победы Сергея последняя буква должна быть S.
    Перепишем варианты для победы Сергея (последняя S, среди первых 4 две A):
    • AAASS
    • AASAS
    • ASAAS
    • ASSAS
    • SAAAS
    • SAAAS -> SAAAS (повтор?) Нет. SAAAS: первые 4-SA AA. Две A. Да.
    • SASAS
    • SSAAS
    Давайте систематизируем. Для 5 партий: последняя фиксирована. Первые 4 содержат ровно 2 победы победителя и 2 поражения. Для Андрея (последняя A, в первых 4 две A и две S): 1. SSAAA 2. SASAA 3. SAASA 4. ASSAA 5. ASASA 6. AASSA Всего 6 исходов. Для Сергея (последняя S, в первых 4 две S и две A): 1. AAASS 2. AASAS 3. ASAAS 4. ASSAS 5. SAAAS 6. SASAS -> SASAS 7. SSAAS 8. SSASA -> SSASA 9. SSSAA -> нет, тут 3 S в первых 4? Нет, в первых 4 должно быть 2 S. SSSAA содержит 3 S в первых 4, значит игра закончилась бы на 3-й партии. Такого исхода нет. Итак, для Сергея тоже 42=6 вариантов: 1. AAASS 2. AASAS 3. ASAAS 4. ASSAS 5. SAAAS 6. SASAS 7. SSAAS 8. SSASA Проверим количество: 2+6+6=14? Нет, в пункте б ключ говорит 10. Почему? Перечитаем условие: "до трёх побед". Может быть, я неправильно понял "перечислить все исходы". Обычно под исходом понимают конкретную последовательность. Давайте пересчитаем внимательно. 3 партии: AAA,SSS (2 шт) 4 партии: SAAA,ASAA,AASA (3 шт для А); ASSS,SASS,SSAS (3 шт для С). Итого 6. 5 партий: Для А нужно 2 А и 2 С в первых 4. Число перестановок P₄(2,2)=4!/2!2!=6. Для С аналогично 6. Итого 12. Всего 2+6+12=20 исходов. Но в ключе ответа написано "б) 10". Это странно. Возможно, в учебнике подразумевается, что игроки неразличимы? Или вопрос звучал иначе? "Перечислить все исходы этого эксперимента". Эксперимент — игра до 3 побед. Если ключ 10, возможно, считаются только счета? 3:0,3:1,3:2 для каждого игрока? Тогда 3+3=6? Нет. Возможно, в условии опечатка в ключе или в моём понимании "исхода". Но стандартное определение элементарного события в такой задаче — полная последовательность партий. Однако, посмотрим на пункт в: "Сколько исходов благоприятствуют событию «победителем станет Андрей»". Если всего исходов 20, то для Андрея: 1(AAA)+3(4 партии)+6(5 партий)=10. Ага! Ключ "б) 10" скорее всего относится к пункту в) или в ключе ошибка нумерации/смысла. Часто в таких задачах спрашивают "Сколько всего исходов?", ответ 20. "Сколько исходов, где выиграл Андрей?", ответ 10. В условии пункта б) сказано "Перечислить все исходы". Перечислять 20 исходов громоздко, но возможно. А ключ "10" явно соответствует числу выигрышных исходов для одного игрока (симметрия). Вероятно, в оригинальном источнике пункт б) звучал как "Сколько всего исходов..." и там было 20, а пункт в) "Сколько исходов favorable..." и там 10. Или же ключ дан неверно для пункта б, либо имеется в виду количество различных счетов ? Нет, счет 3:2 один и тот же. Давайте предположим, что ключ "10" относится к ответу на вопрос "сколько исходов благоприятствуют Андрею" (пункт в), а для пункта б) требуется просто описание метода или список, который мы дадим полностью. Но инструкция гласит: "ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Я напишу полный перечень из 20 исходов для пункта б), так как это математически верно для понятия "элементарные события". А для пункта в) посчитаю те, где выиграл Андрей. Итак, полный список исходов (20 штук): 1. AAA 2. SSS 3. SAAA 4. ASAA 5. AASA 6. ASSS 7. SASS 8. SSAS 9. SSAAA 10. SASAA 11. SAASA 12. ASSAA 13. ASASA 14. AASSA 15. AAASS 16. AASAS 17. ASAAS 18. ASSAS 19. SAAAS 20. SASAS 21. SSAAS 22. SSASA Стоп, я насчитал 22? Проверим комбинации для 5 партий. Для Андрея (последняя A, первые 4:2A, 2S): SSAAA,SASAA,SAASA,ASSAA,ASASA,AASSA. (6 шт) Для Сергея (последняя S, первые 4:2S, 2A): AAASS,AASAS,ASAAS,ASSAS,SAAAS,SASAS,SSAAS,SSASA. (8 шт??) Нет, формула 42=6. Где лишние? AAASS (первые 4:AAA S? Нет, первые 4:A, A, A, S->3 A. Не подходит. Нужно 2 A и 2 S). Правильные первые 4 для Сергея $(2S, 2A): 1. SSAA -> SSAAS $ 2. SASA -> SASAS 3. SAAS -> SAASS (Ошибка: последняя S, значит 5-я S. Первые 4:S, A, A, S. Две S, две A. Верно.) 4. ASSA -> ASSAS 5. ASAS -> ASASS 6. AASS -> AASSS Итак, для Сергея: SSAAS,SASAS,SAASS,ASSAS,ASASS,AASSS. (6 шт) Для Андрея (2A, 2S в первых 4): 1. AASS -> AASSA 2. ASAS -> ASASA 3. ASSA -> ASSAA 4. SAAS -> SAASA 5. SASA -> SASAA 6. SSAA -> SSAAA Итого для 5 партий: 6+6=12. Для 4: 3+3=6. Для 3: 1+1=2. Всего 20.

    Ответ б): Всего существует 20 различных исходов. Они перечислены выше.

в) Нам нужно найти количество исходов, в которых последним результатом является победа Андрея, и он набирает 3 очка первым. Из нашего списка: 1. Из 3 партий: AAA (1 исход) 2. Из 4 партий: SAAA,ASAA,AASA (3 исхода) 3. Из 5 партий: SSAAA,SASAA,SAASA,ASSAA,ASASA,AASSA (6 исходов) Суммируем: 1+3+6=10. Также можно рассуждать комбинаторно: чтобы Андрей выиграл со счётом 3:k (k=0,1,2), он должен выиграть последнюю партию, а среди предыдущих 2+k партий он должен выиграть ровно 2 раза. Количество способов выбрать эти 2 победы из 2+k партий равно 2+k2. - Для k=0 (счёт 3:0): 22=1. - Для k=1 (счёт 3:1): 32=3. - Для k=2 (счёт 3:2): 42=6. Всего: 1+3+6=10.

Ответ в): 10 исходов.