ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 137: Элементарные события и их вероятности

Всего за столом сидят 5 человек: Андрей (A), два Сергея (S_1,S₂) и два Матвея (M_1,M₂). Количество способов рассадить k различных людей за круглым столом равно (k-1)!. Однако в задачах на вероятность часто удобнее фиксировать одного человека для устранения симметрии вращения или считать перестановки линейно, учитывая цикличность. Давайте зафиксируем место Андрея. Поскольку стол круглый, мы можем считать, что Андрей уже сидит на определённом месте. Тогда остальные 4 человека могут занять оставшиеся 4 места любым образом. Общее число способов разместить остальных 4 человек (двух Сергеев и двух Матвеев) на 4 местах: n=4!=24 Здесь мы считаем всех людей различимыми для подсчёта элементарных событий, так как они занимают конкретные места относительно Андрея.

Андрей имеет двух соседей слева и справа. Условие «Андрей сидит между тёзками» означает, что его соседи должны иметь одно и то же имя. Есть два варианта таких пар соседей: 1. Оба соседа — Сергей (S и S). 2. Оба соседа — Матвей (M и M). Рассмотрим расположение мест относительно Андрея. Обозначим места соседей как L (слева от Андрея) и R (справа от Андрея). Остальные два места обозначим как O₁ и O₂ (противоположные или следующие по кругу, но нам важно только то, кто сидит непосредственно рядом с Андреем). Чтобы Андрей сидел между тёзками, на местах L и R должны сидеть либо оба Сергея, либо оба Матвея.

Посчитаем количество способов, при которых выполняется условие. Случай 1: Соседи Андрея — оба Сергея. На место L может сесть любой из двух Сергеев (2 способа), на место R — оставшийся Сергей (1 способ). Итого способов выбрать и посадить Сергеев к Андрею: 2×1=2. Оставшиеся два места (O_1,O₂) занимают два Матвея. Количество способов их разместить: 2!=2. Всего вариантов для этого случая: 2×2=4. Случай 2: Соседи Андрея — оба Матвея. Аналогично первому случаю. На место L садится один из двух Матвеев (2 способа), на место R — второй Матвей (1 способ). Итого способов посадить Матвеев к Андрею: 2×1=2. Оставшиеся два места занимают два Сергея. Количество способов их разместить: 2!=2. Всего вариантов для этого случая: 2×2=4. Общее количество благоприятных исходов m: m=4+4=8

Вероятность события равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов: P=m/n=8/24 Сократим дробь на 8: P=1/3 Проверка другим методом (комбинаторным): Фиксируем Андрея. Вероятность того, что сосед слева — это, например, Сергей, равна 2/4=1/2 (так как из 4 свободных мест 2 заняты Сергеем, если бы мы выбирали случайного человека из оставшихся). Но проще рассмотреть пары соседей. Всего возможных пар людей, которые могут сидеть рядом с Андреем (слева и справа), можно выбрать из 4 оставшихся человек. Но порядок важен (кто слева, кто справа). Давайте посмотрим на имена соседей. У нас есть набор имён соседей: extСергей, extСергей, extМатвей, extМатвей. Мы случайно распределяем эти 4 имени на 4 позиции вокруг Андрея. Нас интересуют позиции 1 и 2 (соседи). Вероятность того, что первый сосед — Сергей, равна 2/4. Если первый сосед — Сергей, то осталось 3 человека: 1 Сергей и 2 Матвея. Вероятность того, что второй сосед тоже Сергей, равна 1/3. Значит, вероятность пары «Сергей-Сергей»: 2/4·1/3=2/12=1/6. Аналогично, вероятность того, что первый сосед — Матвей, равна 2/4. Если первый сосед — Матвей, то осталось 3 человека: 2 Сергея и 1 Матвей. Вероятность того, что второй сосед тоже Матвей, равна 1/3. Значит, вероятность пары «Матвей-Матвей»: 2/4·1/3=1/6. Итоговая вероятность: 1/6+1/6=2/6=1/3. Результаты совпадают.