10–11 классы Независимые события § 21. Независимые события

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 188: Независимые события

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Вера Лапина, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 187 189 →

Условие

Определить независимость событий при двукратном бросании монеты

а) A — выпали обе стороны (разные), B — во второй раз орёл

б) A — хотя бы одна решка, B — хотя бы один орёл.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи о независимости событий при двукратном бросании монеты вспомним определение: два события A и B называются независимыми , если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей, то есть выполняется равенство:

P(A∩B)=P(A)·P(B)

При двукратном бросании монеты пространство элементарных исходов состоит из четырёх равновероятных случаев. Обозначим орёл как О, а решку как Р. Все возможные исходы (первый бросок,второй бросок):

Ω₁: (О, О)
Ω₂: (О, Р)
Ω₃: (Р, О)
Ω₄: (Р, Р)

Вероятность каждого отдельного исхода равна 1/4. Будем последовательно проверять условие независимости для пунктов а) и б).

Шаг 1. Анализ пункта а)

Событие A : «выпали обе стороны (разные)». Это означает, что в одном броске выпал орёл, а в другом — решка. Подходящие исходы: (О,Р) и (Р,О).

Найдём вероятность события A:

P(A)=2/4=1/2

Событие B : «во второй раз орёл». Подходящие исходы: (О,О) и (Р,О).

Найдём вероятность события B:

P(B)=2/4=1/2

Событие A∩B (совместное наступление): должно выполняться одновременно «выпали разные стороны» И «во второй раз орёл». Из перечня исходов этому условию удовлетворяет только один исход: (Р,О) (первый — решка, второй — орёл; стороны разные, во втором орёл).

Найдём вероятность совместного события:

P(A∩B)=1/4

Проверка условия независимости:

Вычислим произведение вероятностей:

P(A)·P(B)=1/2·1/2=1/4

Сравниваем с вероятностью пересечения:

P(A∩B)=1/4

Так как P(A∩B)=P(A)·P(B), события независимы .

Шаг 2. Анализ пункта б)

Событие A : «хотя бы одна решка». Исключаем случай, когда решек нет вообще (то есть оба орла). Подходящие исходы: (О,Р), (Р,О), (Р,Р).

Найдём вероятность события A:

P(A)=3/4

Событие B : «хотя бы один орёл». Исключаем случай, когда орлов нет вообще (то есть обе решки). Подходящие исходы: (О,О), (О,Р), (Р,О).

Найдём вероятность события B:

P(B)=3/4

Событие A∩B (совместное наступление): должно быть хотя бы одна решка И хотя бы один орёл. Это означает, что не может быть двух орлов (нет решки) и не может быть двух решек (нет орла). Остаются только смешанные варианты: (О,Р) и (Р,О).

Найдём вероятность совместного события:

P(A∩B)=2/4=1/2

Проверка условия независимости:

Вычислим произведение вероятностей:

P(A)·P(B)=3/4·3/4=9/16

Сравниваем с вероятностью пересечения:

P(A∩B)=1/2=8/16

Видно, что 8/16≠9/16, то есть P(A∩B)≠P(A)·P(B). Следовательно, события зависимы .

Ответ

а) Да

б) Нет

В пункте а) интуитивно понятно, что результат второго броска не зависит от того, были ли стороны разными (так как 'разные' включает в себя и вариант 'орел-решка', где второй - орел, и 'решка-орел', где второй - орел, но статистически это сбалансировано). В пункте б) наличие хотя бы одной решки уменьшает шансы на наличие хотя бы одного орла (так как исключает вариант 'два орла'), поэтому события конкурируют за пространство исходов и являются зависимыми.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 188 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 188?

Краткий ответ: а) Да б) Нет.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 21. Независимые события.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.