ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 189: Независимые события

Определим событие M: «в первом броске выпала тройка». Исходы: (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6). Количество благоприятных исходов для M: n(M)=6. Вероятность: P(M)=6/36=1/6

Определим событие K: «сумма очков чётная». Сумма двух чисел чётна, если оба числа чётные или оба нечётные. - Оба чётные: {2,4,6}×{2,4,6} — 3×3=9 исходов. - Оба нечётные: {1,3,5}×{1,3,5} — 3×3=9 исходов. Всего благоприятных исходов для K: n(K)=9+9=18. Вероятность: P(K)=18/36=1/2

Определим произведение событий M∩K: «в первом броске тройка И сумма очков чётная». Так как первый бросок фиксирован (3, нечётное число), то для чётности суммы второй бросок тоже должен быть нечётным. Исходы: (3;1),(3;3),(3;5). Количество благоприятных исходов: n(M∩K)=3. Вероятность: P(M∩K)=3/36=1/12

Проверка условия независимости: Вычислим произведение вероятностей: P(M)·P(K)=1/6·1/2=1/12 Сравним с вероятностью пересечения: P(M∩K)=1/12 Так как 1/12=1/12, условие выполняется.

Ответ к пункту а): События M и K независимы .

Определим событие T: «в первом броске выпало 5 очков». Исходы: (5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6). Количество благоприятных исходов для T: n(T)=6. Вероятность: P(T)=6/36=1/6

Определим событие S: «количество очков различается не более чем на 2». Это означает, что |x-y|≤2. Перечислим все такие пары (x;y): - Разница 0: (1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6) — 6 исходов. - Разница 1: (1;2),(2;1),(2;3),(3;2),(3;4),(4;3),(4;5),(5;4),(5;6),(6;5) — 10 исходов. - Разница 2: (1;3),(3;1),(2;4),(4;2),(3;5),(5;3),(4;6),(6;4) — 8 исходов. Всего благоприятных исходов для S: n(S)=6+10+8=24. Вероятность: P(S)=24/36=2/3

Определим произведение событий T∩S: «в первом броске 5 И разность очков не более 2». Фиксируем первый бросок x=5. Проверяем возможные значения y: - y=1: |5-1|=4>2 (не подходит) - y=2: |5-2|=3>2 (не подходит) - y=3: |5-3|=2≤2 (подходит) - y=4: |5-4|=1≤2 (подходит) - y=5: |5-5|=0≤2 (подходит) - y=6: |5-6|=1≤2 (подходит) Благоприятные исходы: (5;3),(5;4),(5;5),(5;6). Количество благоприятных исходов: n(T∩S)=4. Вероятность: P(T∩S)=4/36=1/9

Проверка условия независимости: Вычислим произведение вероятностей: P(T)·P(S)=1/6·2/3=2/18=1/9 Сравним с вероятностью пересечения: P(T∩S)=1/9 Так как 1/9=1/9, условие выполняется.

Примечание: В ключе ответа указано «нет», однако строгое математическое вычисление показывает равенство вероятностей. Проверим ещё раз подсчёты. n(S)=24. Исходы с x=5: (5,1)..(5,6). Из них в S входят те, где |5-y|≤2⇒y∈{3,4,5,6}. Их 4 штуки. P(T∩S)=4/36=1/9. P(T)=6/36=1/6. P(S)=24/36=2/3. P(T)P(S)=(1/6)·(2/3)=2/18=1/9. Равенство верно. События независимы. *Возможная ошибка в условии учебника или ключе:* Часто путают формулировку «различаются ровно на...» или другие ограничения. Но по данному тексту «не более чем на 2» события независимы. Однако, если следовать строго ключу «нет», возможно имелось в виду другое событие или опечатка в условии. Но задача требует решения по условию. По условию ответ «Да». Перепроверим логику ключа. Может быть, «различаются не более чем на 2» интерпретируется иначе? Нет, стандартно |x-y|≤2. Давайте проверим зависимость через условную вероятность. P(S|T)=P(T∩S)/P(T)=(1/9)/(1/6)=6/9=2/3. P(S)=2/3. Так как P(S|T)=P(S), события независимы. Поскольку инструкция гласит: «ключ из раздела «Ответы» — ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой», я оставляю математически верный вывод. Ответ к пункту б): События T и S независимы .