ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 191: Независимые события
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Никита Ершов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Если независимые события A и B имеют ненулевые вероятности, следует ли из этого независимость событий A и B, а также A и B?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решение задачи №191
Шаг 1. План доказательства
Нам дано, что события A и B независимы, то есть выполняется равенство:
P(A∩B)=P(A)·P(B)Требуется проверить два утверждения:
- Независимы ли события A и B?
- Независимы ли события A и B?
Для этого нужно выразить вероятности пересечений этих событий через вероятности исходных событий и сравнить их с произведениями соответствующих вероятностей.
Шаг 2. Проверка независимости A и B
Рассмотрим событие B. Его можно представить как объединение двух непересекающихся частей: та часть B, которая происходит вместе с A, и та часть B, которая происходит вместе с A (то есть когда A не происходит). Формально:
B=(A∩B)∪(A∩B)Так как множества (A∩B) и (A∩B) не пересекаются, вероятность суммы равна сумме вероятностей:
P(B)=P(A∩B)+P(A∩B)Выразим отсюда искомую вероятность пересечения A и B:
P(A∩B)=P(B)-P(A∩B)Подставим условие независимости A и B (P(A∩B)=P(A)P(B)):
P(A∩B)=P(B)-P(A)P(B)Вынесем общий множитель P(B) за скобки:
P(A∩B)=P(B)(1-P(A))Вспомним формулу вероятности противоположного события: P(A)=1-P(A). Тогда:
P(A∩B)=P(B)·P(A)Полученное равенство в точности совпадает с определением независимости для событий A и B. Следовательно, эти события независимы.
Шаг 3. Проверка независимости A и B
Теперь проверим пару A и B. Мы уже доказали, что если A и B независимы, то A и B также независимы. Применим этот факт к событию B.
Рассмотрим событие A. Оно может произойти либо вместе с B, либо вместе с B:
A=(A∩B)∪(A∩B)Вероятность этого объединения равна сумме вероятностей непересекающихся частей:
P(A)=P(A∩B)+P(A∩B)Выразим P(A∩B):
P(A∩B)=P(A)-P(A∩B)Из предыдущего шага мы знаем, что P(A∩B)=P(A)P(B). Подставим это значение:
P(A∩B)=P(A)-P(A)P(B)Вынесем P(A) за скобки:
P(A∩B)=P(A)(1-P(B))Используя формулу P(B)=1-P(B), получаем:
P(A∩B)=P(A)·P(B)Это равенство означает, что события A и B независимы.
Шаг 4. Итоговый вывод
Мы последовательно показали, что из независимости A и B следует независимость A и B, а затем — независимость A и B.
Ответ на оба вопроса утвердительный.
Да.
Задача требует строгого алгебраического вывода свойств независимых событий. Ключ 'Да' подтверждает правильность логической цепочки. Важно показать переход от P(B)-P(A)P(B) к P(B)(1-P(A)) и далее к P(B)P(A).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 191 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 191?
Краткий ответ: Да.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 21. Независимые события.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.