ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 194: Независимые события

При бросании симметричной монеты 4 раза общее количество возможных исходов равно 2⁴=16. Каждый исход представляет собой последовательность из четырёх букв «О» (орёл) или «Р» (решка).

Событие A: «хотя бы один раз выпал орёл». Противоположное событие A: «ни разу не выпал орёл», то есть выпали только решки (РРРР). Такой исход всего один.

Следовательно, количество благоприятных исходов для события A равно общему числу исходов минус один:

Вероятность события A равна P(A)=15/16.

Событие B: «орёл выпал более одного раза». Это означает, что орлов было 2, 3 или 4.

Нам нужна вероятность пересечения событий A и B, то есть P(AB). Поскольку событие B («более одного орла») автоматически подразумевает, что орлы выпадали (то есть выполняется условие A), то B является подмножеством A. Значит, AB=B.

Посчитаем количество исходов, где орлов больше одного:

• Ровно 2 орла: число сочетаний C24=4·3/2=6.
• Ровно 3 орла: число сочетаний C34=4.
• Ровно 4 орла: число сочетаний C44=1.

Всего благоприятных исходов для события B (и одновременно для AB):

Вероятность P(AB)=P(B)=11/16.

Искомая вероятность P(B|A) вычисляется по формуле:

Подставим найденные значения:

Переведём обыкновенную дробь в десятичную:

Заметим, что ключ в учебнике указывает ответ 0,875. Проверим, откуда мог взяться такой ответ. Если бы задача звучала как «вероятность того, что орёл выпал ровно один раз, при условии, что хотя бы один выпал», то ответ был бы 4/15≠0,875. Если бы спрашивали просто вероятность «более одного орла» без условия, это было бы 11/16=0,6875. Ответ 0,875 соответствует дроби 7/8. Дробь 7/8 получается, если рассмотреть пространство из 8 исходов? Нет. Давайте проверим альтернативную интерпретацию или возможную ошибку в ключе/условии. Если условие «хотя бы один орёл» исключает случай «0 орлов» (1 вариант), остаются 15 вариантов. «Более одного орла» — это варианты с 2, 3, 4 орлами (11 вариантов). 11/15≠0,875. Однако, часто в таких задачах путают «более одного» с «не менее двух» (это одно и то же) или рассматривают другие условия. Проверим вариант, когда условие: «выпало ровно два орла»? Нет. Проверим вариант, когда спрашивают вероятность того, что орёл выпал ровно один раз , при условии, что он выпал не более одного раза ? Тоже нет. Возможно, в условии опечатка, и имелось в виду: «Найдите вероятность того, что орёл выпал ровно один раз , при условии, что он выпал не более одного раза »? Тогда n(не более 1)=1(0 орлов)+4(1 орел)=5. P=4/5=0,8. Близко, но не точно. Давайте посмотрим на дробь 7/8=0,875. Числитель 7, знаменатель 8. Это может быть результат деления 7/8. Откуда 7 и 8? Если бросали 3 раза? Всего 8 исходов. Хотя бы один орёл: 8-1=7. Более одного орла (2 или 3): C23+C33=3+1=4. Вероятность 4/7≠0,875. Если задача стандартная, то правильный математический ответ 11/15. Ключ 0,875 (7/8) может относиться к другой задаче или содержать ошибку в условии (например, «бросили 3 раза, известно, что выпал хотя бы один орёл, найти вероятность, что выпало ровно два орла?» -> 3/7. Не подходит). Ещё вариант: «Известно, что первый бросок — орёл. Найти вероятность, что всего орлов больше одного». Тогда фиксируем первый О. Остальные 3 броска дают 2³=8 вариантов. Нужно, чтобы среди остальных 3 было хотя бы 1 О (чтобы всего было >1). Вариантов с 0 О среди остальных: 1 (РРР). Итого благоприятных 8-1=7. Вероятность 7/8=0,875. Скорее всего, в оригинальном источнике или в голове составителя ключа произошло смешение условий: «известно, что хотя бы один раз выпал орёл» часто заменяют на «известно, что конкретный (например, первый) бросок дал орла», либо задача была про 3 броска с другим вопросом. Но строго по тексту «симметричную монету бросили 4 раза. Известно, что хотя бы один раз выпал орёл», ответ должен быть 11/15. Тем не менее, следуя инструкции «ключ из раздела Ответы — ориентир... если числа в условии дают другой результат, пиши свой», я приведу корректное решение для данного текста. Примечание: Если предположить, что условие подразумевало «известно, что первый бросок дал орёл», то ответ был бы 0,875. Но текст говорит «хотя бы один раз». Для текста «хотя бы один раз» ответ 11/15. Так как в школьных сборниках иногда встречаются неточности, давайте ещё раз перечитаем внимательно. «Найдите вероятность того, что орёл выпал более одного раза». n(A)=15. n(B)=11. P=11/15≠0,875. Я напишу решение строго по условию, так как оно однозначно. Ответ 11/15.

Расчёт:

Однако, если мы хотим получить ответ 0,875, нам нужно изменить условие на «известно, что первый бросок дал орёл». В таком случае: Общее число исходов с первым орлом: 1×2×2×2=8. Исходы, где орлов больше одного (значит, среди оставшихся трёх есть хотя бы один орёл): всего 8 минус случай «РРР» (где всего 1 орёл) = 7. Вероятность 7/8=0,875. Учитывая, что ключ 0,875 очень специфичен для случая с фиксированным первым броском, а формулировка «хотя бы один» ведёт к 11/15, я обязан дать решение по тексту условия. Текст условия является приоритетом.

Итак, окончательный расчёт по тексту: