ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 238: Формула бинома Ньютона
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Екатерина Новикова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Вычислить значение выражения
а) C05+C15/2+C25/4+C35/8+C45/16+C55/32
б) 243C55-81C45+27C35-9C25+3C15-C05.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этих примеров удобно воспользоваться формулой бинома Ньютона . Вспомним её общий вид для степени n:
(a+b)n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cnna0bnНам нужно представить данные числовые выражения в виде правой части этой формулы и подобрать соответствующие значения a, b и n. В обоих случаях верхний индекс у сочетаний равен 5, значит, степень бинома n=5.
Шаг 1. Решение пункта а)
Рассмотрим выражение:
C05+C15/2+C25/4+C35/8+C45/16+C55/32Перепишем знаменатели как степени двойки: 1=20, 2=21, 4=22, 8=23, 16=24, 32=25. Тогда выражение примет вид:
C05·1+C15·1/2+C25·(1/2)2+C35·(1/2)3+C45·(1/2)4+C55·(1/2)5Сравним это с разложением (a+b)5. Если мы возьмём a=1 и b=1/2, то получим:
(1+1/2)5=C0515(1/2)0+C1514(1/2)1+…+C5510(1/2)5Так как 1 в любой степени равен 1, а (1/2)0=1, то это разложение точно совпадает с нашим исходным выражением.
Вычислим значение:
(1+1/2)5=(3/2)5=35/25=243/32Проверка прямым подсчётом:
- C05=1
- C15/2=5/2=2.5
- C25/4=10/4=2.5
- C35/8=10/8=1.25
- C45/16=5/16=0.3125
- C55/32=1/32=0.03125
Сумма: 1+2.5+2.5+1.25+0.3125+0.03125=7.59375. Дробь 243/32=7.59375. Ответ верен.
Шаг 2. Решение пункта б)
Рассмотрим выражение:
243C55-81C45+27C35-9C25+3C15-C05Здесь порядок коэффициентов при Ck5 идёт от старших степеней к младшим (C55 до C05), что отличается от стандартной записи бинома Ньютона (где обычно начинают с C0n). Перепишем выражение в привычном порядке, меняя местами слагаемые:
-C05+3C15-9C25+27C35-81C45+243C55Заметим закономерность в числах перед сочетаниями:
- При C05: коэффициент -1=-(1)0·(-1)? Нет, давайте посмотрим на структуру (a+b)5.
- Стандартная формула: C05a5b0+C15a4b1+C25a3b2+C35a2b3+C45a1b4+C55a0b5.
Попробуем подобрать a и b. Значения 1,3,9,27,81,243 — это степени тройки: 30,31,32,33,34,35. Знаки чередуются: минус, плюс, минус, плюс, минус, плюс.
Если взять a=1 и b=-3, то разложение будет таким:
(1+(-3))5=C05(1)5(-3)0+C15(1)4(-3)1+C25(1)3(-3)2+C35(1)2(-3)3+C45(1)1(-3)4+C55(1)0(-3)5Раскроем степени (-3):
- (-3)0=1
- (-3)1=-3
- (-3)2=9
- (-3)3=-27
- (-3)4=81
- (-3)5=-243
Подставим обратно:
C05·1-C15·3+C25·9-C35·27+C45·81-C55·243Это выражение равно -(-C05+3C15-9C25+27C35-81C45+243C55). То есть наше исходное выражение (в переписанном виде) является отрицанием этого результата, или же можно сразу увидеть, что если вынести минус за скобки из исходного примера б), то получится другой вариант подбора.
Давайте проще. Исходное выражение:
S=243C55-81C45+27C35-9C25+3C15-C05Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести к виду, где первый член положительный (как в стандартной формуле с C05):
S=-(C05-3C15+9C25-27C35+81C45-243C55)Внутри скобок стоит разложение бинома (a+b)5, где a=1, а b=-3:
(1-3)5=C05(1)5(-3)0+C15(1)4(-3)1+…+C55(1)0(-3)5 (1-3)5=C05·1-C15·3+C25·9-C35·27+C45·81-C55·243Именно эта сумма находится в наших скобках. Следовательно:
S=-(1-3)5=-(-2)5Вычислим степень:
(-2)5=-32 S=-(-32)=32Проверка прямым подсчётом:
- 243·1=243
- -81·5=-405
- +27·10=+270
- -9·10=-90
- +3·5=+15
- -1·1=-1
Сумма: 243-405+270-90+15-1.
243-405=-162
-162+270=108
108-90=18
18+15=33
33-1=32. Ответ верен.
а) 243/32
б) 32
Задача решается через обратное применение формулы бинома Ньютона. Важно внимательно следить за порядком слагаемых и знаками. В пункте б) удобно сначала перегруппировать слагаемые по возрастанию индекса сочетаний или вынести общий множитель/знак, чтобы свести выражение к виду (a+b)n.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 238 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 238?
Краткий ответ: а) 24332 б) 32.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 24. Формула бинома Ньютона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.