ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 239: Формула бинома Ньютона
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Кирилл Панов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать свойство биномиальных коэффициентов: kCkn=nCk-1n-1 при 1≠k≠n.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этом задании требуется доказать тождество для биномиальных коэффициентов. Мы воспользуемся определением числа сочетаний через факториалы и алгебраическими преобразованиями.
Шаг 1. Запишем определения
Напомним формулу для вычисления биномиального коэффициента Ckn (или nk):
Ckn=n!/k!(n-k)!Аналогично запишем выражение для Ck-1n-1:
Ck-1n-1=(n-1)!/(k-1)!((n-1)-(k-1))!=(n-1)!/(k-1)!(n-k)!Шаг 2. Преобразуем левую часть равенства
Рассмотрим левую часть доказываемого тождества: kCkn. Подставим сюда определение Ckn:
kCkn=k·n!/k!(n-k)!Используем свойство факториала k!=k·(k-1)!. Тогда знаменатель можно переписать как k·(k-1)!·(n-k)!. Сократим множитель k в числителе и знаменателе:
k·n!/k·(k-1)!(n-k)!=n!/(k-1)!(n-k)!Шаг 3. Преобразуем правую часть равенства
Теперь рассмотрим правую часть тождества: nCk-1n-1. Подставим сюда полученное ранее выражение для Ck-1n-1:
nCk-1n-1=n·(n-1)!/(k-1)!(n-k)!Используем свойство факториала n!=n·(n-1)!. Объединим множители n и (n-1)! в числителе:
n·(n-1)!/(k-1)!(n-k)!=n!/(k-1)!(n-k)!Шаг 4. Сравнение результатов и вывод
Сравним результаты, полученные на Шаге 2 и Шаге 3.
- Левая часть после упрощения: n!/(k-1)!(n-k)!
- Правая часть после упрощения: n!/(k-1)!(n-k)!
Так как обе части равны одному и тому же выражению, тождество доказано:
kCkn=nCk-1n-1Условие 1≤k≤n гарантирует, что все факториалы определены корректно (отрицательных аргументов нет).
Доказательство
а) Раскроем Ckn=n!/k!(n-k)!.
б) Левая часть: k·n!/k!(n-k)!=n!/(k-1)!(n-k)!.
в) Правая часть: n·(n-1)!/(k-1)!(n-k)!=n!/(k-1)!(n-k)!.
г) Части равны, тождество доказано.
Для доказательства использовано стандартное определение биномиальных коэффициентов через факториалы. Ключевой момент — сокращение k с k! слева и умножение n на (n-1)! справа.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 239 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 239?
Краткий ответ: Доказательство: 1. Раскроем C_n^k = n!k!(n-k)!. 2. Левая часть: k · n!k!(n-k)! = n!(k-1)!(n-k)!. 3. Правая часть: n · (n-1)!(k-1)!(n-k)! = n!(k-1)!(n-k)!. 4. Части равны, тождество доказано.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 24. Формула бинома Ньютона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.